Исследуем функцию \( f(x)=\frac{x}{x^2-1}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю. Найдем x при которых знаменатель не равен нулю \(x^2-1 \ne 0 => x^2 \ne 1 => x \ne \pm 1 \), т.е. ОДЗ $$D_f=(-\infty; -1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точки разрыва x = -1, x = 1.
исследуем точку x=-1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -1+0}\frac{x}{x^2-1}= +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -1-0} \frac{x}{x^2-1} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0}\frac{x}{x^2-1}= +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 1-0} \frac{x}{x^2-1} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2-1} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x}{x^2-1} = 0 => x=0 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (0;0).
точка пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0\), получим \( y = \frac{x}{x^2-1} = 0 => y=0 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox x = 0 и две точку разрыва x = -1, x = 1, т.е четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{-2}{(-2)^2-1} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((-1; 0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-0.5) = \frac{-0.5}{(-0.5)^2-1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \((0; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0.5) = \frac{0.5}{(0.5)^2-1} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((1 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{2}{(2)^2-1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{x}{x^2-1})' = \frac{x^2-1 - 2x*x}{(x^2-1)^2} = - \frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$ приравняем к 0 $$ - \frac{x^2+1}{(x^2-1)^2} =0 => $$ функция не имеет критических (стационарных) точек, т.к. нет таких значений x при которых первая производная равна 0, поэтому интервалы монотонности рассматриваем на ОДЗ
При всех значениях x первая производная меньше неля \(f'(x) < 0 \) - функция на всем ОДЗ убывает.
Экстремумы функции.
Необходимым условием существования экстремума является наличие критических (стационарных) точек. Таких точек график функции не имеет, т.е. нет и экстремумов.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (- \frac{x^2+1}{(x^2-1)^2})' = - \frac{2x(x^2-1)^2 - 2(x^2-1)*2x(x^2+1)}{(x^2-1)^4} =$$$$= - 2x\frac{(x^2-1) - 2(x^2+1)}{(x^2-1)^3} = -2x \frac{x^2-1 - 2x^2-2}{(x^2-1)^3}=$$$$= 2x \frac{x^2+3}{(x^2-1)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 2x \frac{x^2+3}{(x^2-1)^3} = 0 => x = 0$$ Получили точку x = 0 - точка возможного перегибы. Рассмотрим интервалы выпуклости на всем ОДЗ с учетом точки возможного перегиба:
1. интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-2) = 2*(-2)\frac{(-2)^2+3}{((-2)^2-1)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
2. интервал \((-1; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-0.5) = 2*(-0.5)\frac{(-0.5)^2+3}{((-0.5)^2-1)^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
3. интервал \((0; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \((f''(0.5) = 2*0.5\frac{(0.5)^2+3}{((0.5)^2-1)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
4. интервал \((1; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \((f''(2) = 2*2\frac{(2)^2+3}{((2)^2-1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет точку, при которой вторая производная равна 0 это x=0, точку возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, получаем
\( + \quad 0 \quad -\) вторая производная знак поменяла. Эта точка является точкой перегиба, также это точка пересечения с осями Ox и Oy , ее координаты (0;0)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = -1, x = 1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{x}{x^2-1}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x}{x^2-1} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2-1} = +0$$т.е. кривая приближается к асимптоте сверху$$\lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x^2-1} = -0$$ т.е. кривая приближается к асимптоте снизу
График функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\)
8. График функции.
