Найдем производную функции, заданную параметрически \(\begin{cases}x=t+\ln \cos(t) \\ y=t-\ln \sin(t) \end{cases}\)
Производная функция, заданной параметрически находится по формуле $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \quad (1)$$
Найдем производные функций \(x(t)\) и \(y(t)\)
1. Производная функции \(x(t)\) $$x(t))' = (t+\ln \cos(t))' =$$$$ = 1 + \frac{1}{ \cos(x)}*(-\sin(x)) = 1-tg(x)$$
2. Производная функции \( y(t)\) $$(y(t))' = (t-\ln \sin(t))' = $$$$ =1- \frac{1}{ \sin(t)} \cos(t) = 1 - ctg(x)$$
Применим формулу (1) для нахождения производной функции $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{ 1 - ctg(x)}{1-tg(x)} = -ctg(x)$$Ответ: производная функции, заданной параметрически равна \( -ctg(x)\)
