Найдем производную функции, заданную параметрически \( \begin{cases} x =arcsin\sqrt{t}\\y=\sqrt{1+\sqrt{t}}\end{cases} \)
Производная функция, заданной параметрически находится по формуле $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} \quad (1)$$
Найдем производные функций \(x(t)\) и \(y(t)\)
1. Производная функции \(x(t)\) $$x(t))' = (\arcsin(\sqrt{t}))' =$$$$ = \frac{1}{ \sqrt{1 - ( \sqrt{t})^2}}*\frac{1}{2 \sqrt{t}}= \frac{1}{2 \sqrt{t(1-t)}}$$
2. Производная функции \( y(t)\) $$(y(t))' = (\sqrt{1+\sqrt{t}})' = $$$$ =\frac{1}{ 2\sqrt{1+\sqrt{t}}}*\frac{1}{2 \sqrt{t}} = \frac{1}{4 \sqrt{t} *\sqrt{ 1+ \sqrt{t}}}$$
Применим формулу (1) для нахождения производной функции $$ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{ \frac{1}{4 \sqrt{t} *\sqrt{ 1+ \sqrt{t}}}}{\frac{1}{2 \sqrt{t(1-t)}}} =$$$$ = \frac{2 \sqrt{t(1-t)}}{4 \sqrt{t} *\sqrt{ 1+ \sqrt{t}}}=\frac{ \sqrt{(1- \sqrt{t})(1+ \sqrt{1})}}{2 \sqrt{1 + \sqrt{t}}} = \frac{ \sqrt{1 - \sqrt{t}}}{2}$$Ответ: производная функции, заданной параметрически равна \( \frac{ \sqrt{1 - \sqrt{t}}}{2}\)
