Найдем производную функции \( \frac{2 \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\)
Решение: $$( \frac{2 \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x}+\frac{2}{\sqrt{x}})' = $$ производную будем искать как производную суммы двух функций $$ (\frac{2 \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x})'+(\frac{2}{\sqrt{x}})' = \quad (1)$$
Найдем производные слагаемых:
1. слагаемое, производную будем искать как производную дроби $$(\frac{2 \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x})' = 2\frac{(\sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x}))'*x - \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x^2} =$$$$ 2\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}}*(-1) \arcsin(\sqrt{x})*x +\sqrt{1-x}*\frac{1}{ \sqrt{1- (\sqrt{x})^2}}*\frac{1}{2 \sqrt{x}}*x - \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x^2} =$$$$= \frac{\sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{1-x}} \arcsin(\sqrt{x})*x - 2*\sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x^2} = \frac{\sqrt{x}*\sqrt{1-x} - \arcsin(\sqrt{x})*x - 2*(1-x) \arcsin(\sqrt{x})}{\sqrt{1-x}*x^2} =$$$$ \frac{\sqrt{x}*\sqrt{1-x} - \arcsin(\sqrt{x})*x - 2*\arcsin(\sqrt{x}) +2 \arcsin(\sqrt{x})*x}{\sqrt{1-x}*x^2} = $$$$ = \frac{\sqrt{x(1-x)} + ( x-2) \arcsin(\sqrt{x})}{\sqrt{1-x}*x^2}$$
2. слагаемое, производную будем искать как производную дроби $$(\frac{2}{\sqrt{x}})' = -2\frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{ (\sqrt{x})^2} = -\frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}}$$
3. подставляем решение в (1) $$( \frac{2 \sqrt{1-x} \arcsin(\sqrt{x})}{x}+\frac{2}{\sqrt{x}})' = \frac{\sqrt{x(1-x)} + ( x-2) \arcsin(\sqrt{x})}{\sqrt{1-x}*x^2} - \frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}} = $$$$ = \frac{\sqrt{x(1-x)} + ( x-2) \arcsin(\sqrt{x}) - \sqrt{x(1-x)}}{\sqrt{1-x}*x^2} = \frac{( x-2) \arcsin(\sqrt{x})}{\sqrt{1-x}*x^2} $$
