Найти производную: $$x-ln(1+e^x)-2e^{-\frac{x}{2}}arctg(e^\frac{x}{2})-(arctg(e^\frac{x}{2}))^{2}$$

Найдем производную функции \( x-ln(1+e^x)-2e^{-\frac{x}{2}}arctg(e^{\frac{x}{2}})-(arctg(e^{\frac{x}{2}}))^{2} \)
Решение: $$( x-ln(1+e^{x})-2e^{-\frac{x}{2}}arctg(e^\frac{x}{2})-(arctg(e^\frac{x}{2}))^{2})' = $$Применим формулу производной суммы \((f(x)+g(x)) = f'(x)+g'(x)\) $$ = 1- (ln(1+e^x))'-(2e^{-\frac{x}{2}}arctg(e^\frac{x}{2}))'-((arctg(e^\frac{x}{2}))^{2})' = \quad (1)$$ Найдем производные слагаемых по формуле производной сложной функции
1. слагаемое $$(ln(1+e^{x}))' = \frac{e^x}{1+e^x}$$
2. слагаемое. Найдем производную по формуле производной произведения $$(2e^{-\frac{x}{2}}arctg(e^\frac{x}{2}))' = 2*e^{-\frac{x}{2}}*(-\frac{1}{2})*arctg(e^\frac{x}{2}) + 2e^{-\frac{x}{2}}* \frac{1}{1+(e^\frac{x}{2})^2}*e^{ \frac{x}{2}} \frac{1}{2} =$$$$ =  \frac{1}{1+e^x} - e^{- \frac{x}{2}}*arctg(e^\frac{x}{2}$$
3. слагаемое. Производную найдем по формуле производной сложной функции $$((arctg(e^\frac{x}{2}))^{2})' = 2arctg(e^\frac{x}{2}))*\frac{1}{1 +(e^\frac{x}{2})^2}*e^\frac{x}{2}*\frac{1}{2}= $$$$ =arctg(e^\frac{x}{2})*\frac{e^\frac{x}{2}}{1 +e^x})$$
Подставляем полученные решения в (1)
$$ = 1- (ln(1+e^x))'-(2e^{-\frac{x}{2}}arctg(e^\frac{x}{2}))'-((arctg(e^\frac{x}{2}))^{2})' = $$$$ =1 -  \frac{e^x}{1+e^x} - [\frac{1}{1+e^x} - e^{-\frac{x}{2}}*arctg(e^\frac{x}{2})] - arctg(e^\frac{x}{2})*\frac{e^\frac{x}{2}}{1 +e^x} = $$$$ =1 -  \frac{e^x}{1+e^x} - \frac{1}{1+e^x} + e^{-\frac{x}{2}}*arctg(e^\frac{x}{2}) - arctg(e^\frac{x}{2})*\frac{e^\frac{x}{2}}{1 +e^x} = $$$$ = e^{-\frac{x}{2}}*arctg(e^\frac{x}{2}) - arctg(e^\frac{x}{2})*\frac{e^\frac{x}{2}}{1 +e^x} = \frac{e^{-\frac{x}{2}}*arctg(e^\frac{x}{2})}{1 +e^x} $$