Решить неравенство \(\log_{5+x}{(1-2x)} \geq \log_{5+x}3 + \log_{5+x}x^2\). Для решения неравенства воспользуемся формулами логарифм произведения и частного от деления.$$\log_{5+x}{(1-2x)} \geq \log_{5+x}3 + \log_{5+x}x^2 =>$$$$\log_{5+x}{(1-2x)} -\log_{5+x}3 - \log_{5+x}x^2 \geq 0 =>$$$$\log_{5+x}{\frac{1-2x}{3x^2}} \geq 0 =>$$Известно, что если основание логарифма больше 1, то функция логарифма возрастающая, если меньше, то убывающая. Рассотрим эти два случая
1. \(5+x>1 => x >-4\), тогда $$\log_{5+x}{\frac{1-2x}{3x^2}} \geq 0 =>\frac{1-2x}{3x^2} \geq 1 =>$$$$ \frac{1-2x}{3x^2}-1 \geq 0 => \frac{1-2x-3x^2}{3x^2}-1 \geq 0 =>$$составим систему уравнений$$\begin{cases}(1-2x-3x^2)3x^2 \geq 0\\3x^2 \ne 0 \\ x > -4\end{cases}=>$$$$\begin{cases}3x^2+2x-1 \leq 0\\ x \ne 0 \\ x > -4\end{cases}=> \begin{cases}(x+1)(x- \frac{1}{3}) \leq 0\\ x \ne 0 \\ x > -4\end{cases}$$ Ответ: \( [-1;0) \cup (0;\frac{1}{3}] \)
2. \(5+x < 1 => x < -4 \), тогда $$\log_{5+x}{\frac{1-2x}{3x^2}} \geq 0 =>\frac{1-2x}{3x^2} \leq 1 =>$$$$ \frac{1-2x}{3x^2}-1 \leq 0 => \frac{1-2x-3x^2}{3x^2}-1 \leq 0 =>$$составим систему уравнений$$\begin{cases}(1-2x-3x^2)3x^2 \leq 0\\3x^2 \ne 0 \\ x < -4\end{cases}=>$$$$\begin{cases}3x^2+2x-1 \geq 0\\ x \ne 0 \\ x < -4\end{cases}=> \begin{cases}(x+1)(x- \frac{1}{3}) \geq 0\\ x \ne 0 \\ x < -4\end{cases}$$ Ответ: \( (-\infty;-4) \)
