Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Даны три вершины А(6;-6) В(10;3) С(6;7) трапеции ABCD. Стороны трапеции AB||CD. Диагональ


0 Голосов
Татьяна Влади
Posted Декабрь 20, 2013 by Татьяна Владимировна
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 1848

Даны три вершины А(6;-6) В(10;3) С(6;7) трапеции ABCD.  Стороны трапеции AB||CD. Диагональ BD перпендикулярна стороне ВС.


Найти:
1) длину стороны АВ,
2) уравнение прямой АВ,
3) уравнение прямой ВС,
4) уравнение прямой CD,
5) величину угла \widehat{BCD},
6) высоту трапеции.

Теги: уравнение прямой, свойства прямых

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 20, 2013 by Вячеслав Моргун

1) длину стороны АВ.
Длину стороны AB будем искать по формуле расстояния между точками d = \sqrt{ (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

Подставляем координаты точек А(6;-6) В(10;3), получаем AB  = \sqrt{ (10-6)^2 + (3+6)^2} = \sqrt{97} \approx 9,85

2) уравнение прямой АВ.
Уравнения прямой будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}
Подставляем координаты точек А(6;-6), В(10;3) и получаем уравнение прямой \frac{x-6}{10-6} = \frac{y+6}{3+6} => y = \frac{9}{4}x - \frac{39}{2}

3) уравнение прямой BC.
Уравнения прямой будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}
Подставляем координаты точек В(10;3), С(6;7) и получаем уравнение прямой \frac{x-10}{6-10} = \frac{y-3}{7-3} => y = -x + 13

4) уравнение прямой CD.
О прямой CD известно, что она параллельна (прямой) AB. Воспользуемся свойством параллельных прямых: угловые коэффициенты параллельных прямых равны k_{AB}=k_{CD} = \frac{9}{4}. Для прямой CD известен угловой коэффициент и точка, через которую она проходит. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении y - y_0 = k(x-x_0)
Подставляем координаты точки С(6;7) и угловой коэффициент k_{CD} = 1 y - 7 = \frac{9}{4}(x-6) => y = \frac{9}{4}x -\frac{13}{2}

5) величину угла \widehat{BCD}.
Известны уравнения прямых, образующих угол \widehat{BCD}   - прямые BC и CD. Угол между прямыми ищется по формуле tg \phi = | \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1}|
Угловые коэффициенты прямых равны k_{BC} = -1, k_{CD} = \frac{9}{4}, подставляем в формулу tg \phi = | \frac{ \frac{9}{4}+1}{1+\frac{9}{4}(-1)}| =  \frac{13}{4}\frac{4}{5} = \frac{13}{5} \approx 69^0

6) высоту трапеции.
Высоту трапеции будем рассматривать ка расстояние от точки до прямой - расстояние одной из вершин, например А(6;-6) до прямой CD. Расстояние (высоту) будем искать по формуле h = |\frac{Ax_0+By_0+C}{ \sqrt{A^2+B^2}}|
где Ax+By+C =0 - уравнение прямой, а x_0;y_0 - координаты точки. Представим уравнение прямой CD в общем виде y = \frac{9}{4}x -\frac{13}{2} => 4y -9x+26 =0. Подставим полученное уравнение прямой  координаты точки А(6;-6) в формулу h = |\frac{4*(-6) -9*6+26}{ \sqrt{6^2+6^2}}| = \frac{52}{\sqrt{72}} = \frac{26}{3 \sqrt{2}} \approx 6,13

7) Нанесем координаты точек и прямых на декартовую систему координат.