Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/AMS/Regular/Main.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Визначити кооpдинати веpшин pомба, якщо відомій pівняння двох його стоpін:


1 Vote
Цихуляк
Posted Декабрь 19, 2013 by Цихуляк
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 1567

Визначити кооpдинати веpшин pомба, якщо відомій pівняння двох його стоpін:
х+2у-4=0
х+2у-10=0
і pівняннй його діагоналі  у=х+2

Теги: уравнение прямой, свойства параллельных прямых

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 19, 2013 by Вячеслав Моргун

Ищем координаты вершин ромба. Предварительно определим, уравнения каких сторон (параллельных или пересекающихся). Т.у. коэффициенты при неизвестных двух прямых пропорциональные с коэффициентом один (т.е. равны) это означает, что прямые параллельные, а в пересечении с диагональю получим две координаты вершин A(x;y)  и B(x;y)
1. Координаты первой вершины A.
Найдем точку пересечения диагонали и одной из прямых - первая вершина ромба. Составим систему уравнений и найдем эти координаты \begin{cases}х+2у-4=0 \\у=х+2\end{cases} => \begin{cases}х+2у-4=0 \\у-х-2=0\end{cases} =>

\begin{cases}3у-6=0 \\ у-х-2=0\end{cases} =>  \begin{cases}у=2 \\х=0\end{cases}
Координаты вершины A(0;2)
2. Координаты первой вершины B.
Найдем точку пересечения диагонали и второй прямой - вторая вершина ромба. Составим систему уравнений и найдем эти координаты \begin{cases}х+2у-10=0 \\у=х+2\end{cases} => \begin{cases}х+2у-10=0 \\ у-х-2=0\end{cases} =>
\begin{cases}3у-12=0 \\у-х-2=0\end{cases} => \begin{cases}у=4 \\х=2\end{cases}
Координаты вершины B(2;4)


3. Уравнение диагонали CD.
Найдем уравнение второй диагонали, а затем координаты оставшихся точек по аналогии как в п.1,2.
Воспользуемся свойством угловых коэффициентов двух перпендикулярных прямых k_1 = -\frac{1}{k_2} . Угловой коэффициент диагонали AB у=х+2 => k =1 => Угловой коэффициент диагонали CD k_{CD} = - \frac{1}{1} = -1 .Зная угловой коэффициент и одну точку, через которую проходит прямая диагонали, уравнение найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении y - y_0 = k(x-x_0) \quad (1)

Точка, через которую проходит диагональ CD - середина диагонали AB это следует из свойства диагоналей ромба. Находим координаты точки O - середины диагонали AB O( \frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) => O( \frac{0+2}{2}; \frac{2+4}{2}) Координаты точки пересечения диагоналей O(1;3). Подставляем координаты точки и углового коэффициента в (1) y - 3 = -(x-1) => y = -x + 4

4. Координаты первой вершины C.
Найдем точку пересечения диагонали и второй прямой - вторая вершина ромба. Составим систему уравнений и найдем эти координаты \begin{cases}х+2у-10=0 \\у=-х+4\end{cases} => \begin{cases}х+2у-10=0 \\у+х-4=0\end{cases} => \begin{cases}у=6 \\х=-2\end{cases}
Координаты вершины C(-2;6)


5. Координаты первой вершины D.
Найдем точку пересечения диагонали и второй прямой - вторая вершина ромба. Составим систему уравнений и найдем эти координаты \begin{cases}х+2у-4=0 \\у=-х+4\end{cases} => \begin{cases}х+2у-4=0 \\у+х-4=0\end{cases} => \begin{cases}у=0 \\х=4\end{cases}

Координаты вершины D(4;0)


6. Наносим на декартовую систему координат полученные результаты.