Обозначим через \(H_1;H_2;H_3\) - соответственно гипотезы о том, что наудачу взятый белый шарик принадлежал первому, второму или третьему ящику.
1. Найдем вероятность гипотез \(H_1;H_2;H_3\).
Вероятность гипотез будем находить по классическому определению вероятностей, где n = 3 - количество ящиков, а m =1 - шарик взят из конкретного ящика (одного из трех), тогда вероятности этих гипотез до проведения испытаний равны между собой $$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$$
2. Найдем условные вероятности.
В результате испытания наблюдается событие A - наудачу выбранный шарик белый. Найдем условные вероятности этого события при гипотезах \(H_1;H_2;H_3\)
первый ящик, 6 белых и 4 черных шарика, т.е. n = 6+4=10, а m=6, тогда $$P(A|H_1) = \frac{m}{n} = \frac{6}{10}=0.6$$
второй ящик, 7 белых и 3 черных шарика, т.е. n = 7+3=10, а m=7, тогда $$P(A|H_2) = \frac{m}{n} = \frac{7}{10}=0.7$$
третий ящик, 8 белых, т.е. n = 8, а m=8, тогда $$P(A|H_3) = \frac{m}{n} = \frac{8}{8}= 1$$
3. Применяем формулу Бейеса.
По формуле Бейеса $$P(H_i|A_i) = \frac{P(H_i)P(A|H_i)}{ \sum_{i=1}^n P(H_i)P(A|H_i)}$$ В нашем частном случае вероятности \(P(H_i)\) равны, поэтому они сокращаются и формула примет вид $$P(H_i|A_i) = \frac{P(A|H_i)}{ \sum_{i=1}^n P(A|H_i)}$$
подставляем данные и находим вероятность гипотезы \(H_2\) после испытания $$P(H_2|A) = \frac{0,7}{ 0,6 + 0,7 + 1} \approx 0,3$$Ответ: вероятность того, что белый шарик был взят из второго ящика равна \(P(H_2|A) = 0,3\)
