Прологарифмируйте х по основанию 10: $$x=\frac{\sqrt{1000\sqrt{10a\sqrt{a }}}}{10\sqrt{a}}$$

Прологарифмируем правую и левую часть равенства по основанию 10
$$ \lg{x}=\lg{\frac{\sqrt{1000\sqrt{10a\sqrt{a}}}}{10\sqrt{a}}}=\lg{ \sqrt{1000\sqrt{10a\sqrt{a}}}}-\lg{10\sqrt{a}}=$$
Для решения задачи воспользуемся формулами свойств логарифмов
$$\lg{(1000 ({10aa^{\frac{1}{2}}})^\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}-\lg{10a^{ \frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}(\lg{10^3}+\lg{(10a^{\frac{3}{2}}})^{\frac{1}{2}})-\lg{10} - \lg{a^{\frac{1}{2}}}=$$$$=\frac{1}{2}(3 \lg{10}+\frac{1}{2}\lg{(10a^{\frac{3}{2}}}))-\lg{10} - \frac{1}{2}\lg{a}=\frac{1}{2}(3+\frac{1}{2}(\lg{10}+\lg{a^{\frac{3}{2}}}))-1 - \frac{1}{2}\lg{a}=$$$$=\frac{1}{2}(3+\frac{1}{2}(1+\frac{3}{2}\lg{a}))-1 - \frac{1}{2}\lg{a}= \frac{3}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{8}\lg{a}-1 - \frac{1}{2}\lg{a}=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\lg{a}$$Ответ: \(\lg{x}=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\lg{a}\)