Введем следующие обозначения:
событие \(A\) - поражение цели.
событие \(A_1\) - поражение цели первой установкой, тогда событие \( \overline{A_1}\) - непоражение первой установкой цели, т.е. установка не выстрелила или ракета промахнулась
событие \(A_2\) - поражение цели второй установкой, тогда событие \( \overline{A_2}\) - непоражение второй установкой цели, т.е. установка не выстрелила или ракета промахнулась
Тогда возможны наступления четырех несовместных события стрельбы по цели
1. \(A_1; \overline{A_2}\) - первая установка поразила цель, вторая нет
2. \(\overline{A_1};A_2\) - первая установка не поразила, вторая поразила
3. \(A_1;A_2\) - первая и вторая установки поразили цель
4. \(\overline{A_1};\overline{A_2}\) - первая и вторая установки не поразили цель
Указанные события составляют полную группу несовместных событий и сумма их вероятностей равна единице.
$$p(A_1; \overline{A_2})+p( \overline{A_1};A_2)+p(A_1;A_2)+p( \overline{A_1}; \overline{A_2}) = 1$$
Т.о. вероятность поражения цели \(P(A)\) равна $$P(A) = p(A_1; \overline{A_2})+p( \overline{A_1};A_2)+p(A_1;A_2)$$ или $$P(A) = 1 - p( \overline{A_1}; \overline{A_2})$$
Решим задачу двумя этими способами:
1. найдем \(P(A) = p(A_1; \overline{A_2})+p(\overline{A_1};A_2)+p(A_1;A_2)\)
первые установка. Вероятность поражение цели первой установки возможна, если установка сработала (вероятность срабатывания \(p_{1ср} = 0,85\)) и ракета попала (вероятность поражения \(p_{1пор} = 0,8\)), т.е. вероятность находится по формуле произведения вероятностей $$p(A_1) = p_{1ср}*p_{2пор} = 0,85*0,8= 0,68$$ тогда вероятность непопадания равна $$p(\overline{A_1}) = q(A_1) = 1 - p(A_1) = 1 - 0,68 = 0,32$$
вторая установка. Вероятность поражение цели второй установки возможна, если установка сработала (вероятность срабатывания \(p_{2ср} = 0,9\)) и ракета попала (вероятность поражения \(p_{2пор} = 0,7\)), т.е. вероятность находится по формуле произведения вероятностей $$p(A_2) = p_{2ср}*p_{2пор} = 0,9*0,7= 0,63$$ тогда вероятность непопадания равна $$p(\overline{A_2}) = q(A_2) = 1 - p(A_2) = 1 - 0,63 = 0,37$$
Находим вероятность каждого из возможных событий по формуле произведения вероятностей
1. \(p(A_1; \overline{A_2}) = p(A_1)*p( \overline{A_2}) = p(A_1)*q(A_2) = 0.68*0.37 = 0.2516\)
2. \(p(\overline{A_1};A_2) = p(\overline{A_1})*p(A_2) = q(A_1)*p(A_2) = 0.32*0.63 = 0.2016 \)
3. \(p(A_1;A_2) = p(A_1)*p(A_2) = 0.68*0.63 = 0.4284\)
4. \(p(\overline{A_1};\overline{A_2}) = p(\overline{A_1})*p(\overline{A_2}) = q(A_1)*q(A_2) = 0.32*0.37 = 0.1184\)
Проверяем, составляют ли эти события полную группу несовместных событий, и равна ли их сумма единице.
\(p(A_1; \overline{A_2})+p( \overline{A_1};A_2)+p(A_1;A_2)+p( \overline{A_1}; \overline{A_2}) = 0.2516+0.2016+0.4284+0.1184 = 1\)
Находим вероятность поражения цели
$$P(A) = p(A_1; \overline{A_2})+p(\overline{A_1};A_2)+p(A_1;A_2) = 0.2516+0.2016+0.4284 = 0,8816$$
2. найдем \(P(A) = 1 - p(\overline{A_1};\overline{A_2})\).
Для решения задачи этим способом, т.е. найти вероятность непоражения цели и вычесть результат из единицы, часто бывает проще первого. Нам нужно было найти только вероятность
4. \(p(\overline{A_1};\overline{A_2}) = p(\overline{A_1})p(\overline{A_2} = q(A_1)*q(A_2) = 0.32*0.37 = 0.1184\)
и подставить в формулу
$$P(A) = 1 - p(\overline{A_1};\overline{A_2}) = 1 - 0.1184 = 0.8816$$
