Найдем предел \( \lim_{x \to 0 }(\frac{ \arcsin(x)}{x})^{\frac{2}{x+5}} = (\frac{0}{0})^{\frac{2}{5}} \)
Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), разрешим ее? применив правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ а предел возведем в степень \( \frac{2}{5}\)
Решаем: $$\lim_{x \to 0 }(\frac{ \arcsin(x)}{x})^{\frac{2}{x+5}} = \lim_{x \to 0 }(\frac{ \arcsin(x)}{x})^{\lim_{x \to 0 } \frac{2}{x+5}} = (\lim_{x \to 0 }\frac{ \arcsin(x)}{x})^{ \frac{2}{5}}$$применим правило Лопиталя для разрешения неопределенности $$ = (\lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1})^{ \frac{2}{5}} = (\frac{ \frac{1}{\sqrt{1-0}}}{1})^{ \frac{2}{5}} = 1^{ \frac{2}{5}} = 1$$
