Найдем предел \( \lim_{n \to \infty }(\frac{n+3}{n+5})^{n+4} \)
Приведем это предел к замечательному пределу $$ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x$$
Приводим: $$ \lim_{n \to \infty }(\frac{n+3}{n+5})^{n+4} = $$ выделим целую часть в числителе дроби $$ = \lim_{n \to \infty }(\frac{n+3+2-2}{n+5})^{n+4} = \lim_{n \to \infty }(1 - \frac{2}{n+5})^{n+4} = $$умножим и разделим на скобку, чтобы знаменатель дроби стал равен степени$$ = \lim_{n \to \infty }(1 + \frac{-2}{n+5})^{n+4}*\frac{1 + \frac{-2}{n+5}}{1 + \frac{-2}{n+5}} = $$$$ =\lim_{n \to \infty }(1 + \frac{-2}{n+5})^{n+5}*\frac{1}{1 + \frac{-2}{n+5}} = e^{-2}*1= \frac{1}{e^2}$$
