Найдем предел \( \lim_{x \to 0 }\frac{3^{2x}-7^x}{ \arcsin(3x)-5x} = \frac{1-1}{0-0} = \frac{0}{0}\)
Применим правило Лопиталя для нахождения предела, т.к. при подстановке в функцию значения точки \(x = 0\) получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\)$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем $$ \lim_{x \to 0 }\frac{3^{2x}-7^x}{ \arcsin(3x)-5x} = \lim_{x \to 0 }\frac{3^{2x}*\ln(3)*2-7^x*\ln(7)}{ \frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}}*3-5} = $$$$ =\frac{3^{2*0}*\ln(3)*2-7^0*\ln(7)}{ \frac{1}{\sqrt{1-(3*0)^2}}*3-5} = \frac{2*\ln(3) - \ln(7)}{3-5} = \frac{\ln(3^2) - \ln(7)}{-2} = - \frac{1}{2} \ln(\frac{9}{7}) $$
