Найдем предел \( \lim_{x \to 0 }\frac{tg(x)- \sin(x)}{ \sin^3(x)} = \frac{0-0}{0} = \frac{0}{0}\)
Предел функции будем искать двумя способами:
1. Путем преобразований
Проведем тригонометрические преобразования для нахождения предела и разрешения неопределенности
$$\lim_{x \to 0 }\frac{tg(x)- \sin(x)}{ \sin^3(x)} = \lim_{x \to 0 }\frac{\frac{ \sin(x)}{ \cos(x)}- \sin(x)}{ \sin^3(x)} = \lim_{x \to 0 }\frac{1 - \cos(x)}{sin^2(x)* \cos(x)} = $$ применим формулу основного тригонометрического тождества \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) и формулу сокращенного умножения - разность квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\), т.е. получаем \( 1 - \cos^2(x) = (1 - \cos(x))(1+ \cos(x))\), подставляем $$ = \lim_{x \to 0 }\frac{1 - \cos(x)}{(1 - \cos(x))(1+ \cos(x))* \cos(x)} = \lim_{x \to 0 }\frac{1}{(1+ \cos(x))* \cos(x)} = \frac{1}{(1+1)*1} = \frac{1}{2}$$
2. Правило Лопиталя.
При подстановке в функцию значения точки \(x = 0\) получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), т.е. можно применить правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$Применяем $$\lim_{x \to 0 }\frac{tg(x)- \sin(x)}{sin^3(x)} = \lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{1}{ \cos^2(x)}- \cos(x)}{3 \sin^2(x)* \cos(x)} = $$ т.к. в знаменателе синус, который равен 0 при x = 0, то продолжим преобразования и применяем формулу разности кубов \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)$$ = \lim_{x \to 0 }\frac{ 1- \cos^3(x)}{3 \sin^2(x)* \cos^3(x)} = \lim_{x \to 0 }\frac{(1- \cos(x))(1 + \cos(x) + \cos^2(x))}{3 (1 - \cos^2(x))* \cos^3(x)} = $$$$ = \lim_{x \to 0 }\frac{(1- \cos(x))(1 + \cos(x) + \cos^2(x))}{3 (1 - \cos(x))(1 + \cos(x))* \cos^3(x)} = \lim_{x \to 0 }\frac{1 + \cos(x) + \cos^2(x)}{3(1 + \cos(x))* \cos^3(x)} = \frac{1+1+1}{3(1+1)*1} = \frac{1}{2}$$
