Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty }(n\sqrt{n}-\sqrt{n(n+1)(n+2)})$$
Для нахождения предела иррациональной функции умножим и разделим ее на сопряженное выражение \(n\sqrt{n} + \sqrt{n(n+1)(n+2)}\) получаем $$ \lim_{n \to \infty }(n\sqrt{n}-\sqrt{n(n+1)(n+2)}) = \lim_{n \to \infty }(n\sqrt{n}-\sqrt{n(n+1)(n+2)})*\frac{n\sqrt{n} + \sqrt{n(n+1)(n+2)}}{n\sqrt{n} + \sqrt{n(n+1)(n+2)}} = $$применим формулу сокращенного умножения - формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) получаем $$ = \lim_{n \to \infty }(n\sqrt{n}-\sqrt{n(n+1)(n+2)})*\frac{n\sqrt{n} + \sqrt{n(n+1)(n+2)}}{n\sqrt{n} + \sqrt{n(n+1)(n+2)}} = \lim_{n \to \infty }\frac{n^2*n-n(n+1)(n+2)}{n\sqrt{n} + \sqrt{n(n+1)(n+2)}}=$$$$ = \lim_{n \to \infty }\frac{n^3-n^3-3n^2-2n}{n\sqrt{n} + \sqrt{n^3+3n^2+2n}} = \lim_{n \to \infty }\frac{-3n^2-2n}{n\sqrt{n} + \sqrt{n^3+3n^2+2n}}$$ анализируем дробь, в числителе многочлен степени 2, а в знаменателе многочлен степени \( \frac{3}{2}\), т.е. в числителе степень больше. При \( n \to \infty\) числитель растет быстрее знаменателя, т.е. с учетом, того, что дробь отрицательная получаем $$ \lim_{n \to \infty }\frac{-3n^2-2n}{n\sqrt{n} + \sqrt{n^3+3n^2+2n}} = -\infty $$
