Найдем предел \( \lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x}{\sqrt{x^2+6x}-4} = \lim_{x \to 2}\frac{2^2-2*2}{\sqrt{2^2+6*2}-4} = \frac{0}{0} \)
Предел функции будем искать двумя способами:
1. Путем преобразований $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x}{\sqrt{x^2+6x}-4} = $$ воспользуемся формулой сокращенного умножения - разность квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), домножим числитель и знаменатель на многочлен, сопряженный к знаменатель, получаем $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x}{\sqrt{x^2+6x}-4}*\frac{\sqrt{x^2+6x}+4}{\sqrt{x^2+6x}+4} = \lim_{x \to 2}\frac{x(x-2)(\sqrt{x^2+6x}+4)}{x^2+6x-16} = $$ найдем корни многочлена в знаменателе, разложим многочлен на простые множители $$ = \lim_{x \to 2}\frac{x(x-2)(\sqrt{x^2+6x}+4)}{(x-2)(x+8)} = \lim_{x \to 2}\frac{x(\sqrt{x^2+6x}+4)}{x+8} =$$$$= \frac{2*(\sqrt{2^2+6*2}+4)}{2+8} = \frac{2*8}{10} = \frac{8}{5}$$
2. Правило Лопиталя.
При подстановке в функцию значения точки \(x = 2\) получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), т.е. можно применить правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2-2x}{\sqrt{x^2+6x}-4} = \lim_{x \to 2}\frac{2x-2}{\frac{1}{2\sqrt{x^2+6x}}*(2x+6)} = $$$$ = \lim_{x \to 2}\frac{(x-1)2\sqrt{x^2+6x}}{x+3}= \frac{(2-1)*2\sqrt{2^2+6*2}}{2+3} =\frac{2*4}{5} = \frac{8}{5} $$
