Найдем предел \( \lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x^{3}-3x^{2}+4} = \frac{2^{3}-6*2^{2}+12*2-8}{2^{3}-3*2^{2}+4} = \frac{0}{0} \)
Предел функции будем искать по правилу Лопиталя.
При подстановке в функцию значения точки \(x = 2\) получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), т.е. можно применить правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x^{3}-3x^{2}+4} = \lim_{x \to 2}\frac{3x^2-12x+12}{3x^2-6x} = \frac{3*2^2-12*2+12}{3*2^2-6*2} = \frac{12-24+12}{12-12} =\frac{0}{0}$$Опять получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), повторно применим правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 2}\frac{3x^2-12x+12}{3x^2-6x} = \lim_{x \to 2}\frac{6x-12}{6x-6} = \frac{6*2-12}{6*2-6} = 0 $$
