Найдем предел \(\lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6x^2+x-1}{x-\frac{1}{3}} = \frac{6*( \frac{1}{3})^2+{ \frac{1}{3}-1}}{ \frac{1}{3}-\frac{1}{3}} = \frac{0}{0} \)
Предел будем искать двумя способами:
1. Путем преобразований $$ \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6x^2+x-1}{x- \frac{1}{3}} = $$ найдем корни многочлена числителя, получаем $$ \lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6(x- \frac{1}{3})(x+ \frac{1}{2})}{x- \frac{1}{3}} = \lim_{x \to \frac{1}{3}} 6(x+\frac{1}{2}) = $$$$ = 6( \frac{1}{3}+ \frac{1}{2}) = 6*\frac{5}{6} =5$$
2. Правило Лопиталя.
При подстановке в функцию значения точки \(x = \frac{1}{3}\) получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), т.е. можно применить правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем $$ \lim_{x \to \frac{1}{3}}\frac{6x^2+x-1}{x-\frac{1}{3}} = \lim_{x \to \frac{1}{3}}\frac{12x+1}{1} = 12*\frac{1}{3} +1 = 4+1=5$$
