Выполним действия в алгебраической форме \( ( \frac{1-i}{1+i})^{20}+i^{12} = \quad (1)\)
1. Найдем \(i^{12}\). Воспользуемся свойством мнимой единицы $$i^2 = -1$$ получим $$i^{12} =(i^2)^6 = (-1)^6=1$$
2. Найдем \( ( \frac{1-i}{1+i})^{20}\). Избавимся от комплексного числа в знаменателе, для этого числитель и знаменатель умножим на сопряженное число к знаменателю $$ ( \frac{1-i}{1+i})^{20}=( \frac{1-i}{1+i}*\frac{1-i}{1-i})^{20} = $$ в знаменателе получили формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), т.е. \((1+i)(1-i) = 1-i^2=1+1=2\), а в числителе получаем \((1-i)^2 = 1-2i+i^2= 1-2i-1=-2i\) подставляем $$ = ( \frac{-2i}{2})^{20} = (-i)^{20} =$$воспользуемся свойством степеней \((a*b)^c = a^c*b^c \), т.е \((-i)^{20} = (-1*i)^{20} = (-1)^{20}*i^{20}\), опять воспользуемся свойством мнимой единицы $$= (-1)^{20*i^{20}} = i^{20} = (i^2)^{10} = (-1)^{10} = 1$$Подставляем полученные результаты в (1) $$(\frac{1-i}{1+i})^{20}+i^{12} = 1 + 1 = 2$$
Запишем полученное комплексное число в
1. Алгебраической форме \(z = a +bi\).
$$z = 2 + 0i = 2$$ коэффициент при мнимой части равен 0
2. Тригонометрической форме \(z = r( \cos\phi + i\sin \phi)\).
где \(r = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2^2+0^2 } = 2\), а угол \( \phi \) определяем по формуле $$\begin{cases} \sin\phi = \frac{b}{r} \\ \cos \phi = \frac{a}{r}\end{cases}=> \begin{cases} \sin\phi = \frac{0}{2}=0 \\ \cos \phi = \frac{2}{2}=1\end{cases}$$ т.е \( \phi = 0\). Подставляем в тригонометрическую форму записи комплексного числа $$z = 2 (\cos(0) + i\sin(0))$$разумеется, если мы откроем скобки, должны получить равенство \(z = a+bi = r( \cos\phi + i\sin \phi)\), т.е. \(z = 2 + 0i = 2 (\cos(0) + i\sin(0)) = 2\)
