Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя: $$ \lim_{x \to 0}(1- \ln(1-\sin(x)))^{\frac{1}{tg^2(x)}} $$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 0}(1-\ln(1-\sin(x)))^{\frac{1}{tg^2(x)}} = (1-\ln(1-0))^{\frac{1}{0}} = 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод приведения к форме второго замечательного предела .
Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Рассмотрим предел, приведем его к виду второго замечательного предела, где \( f(x) = \ln(1-\sin(x)) => \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{ \ln(1-\sin(x))}\).
Подставляем в предел $$ \lim_{x \to 0}(1- \ln(1-\sin(x)))^{\frac{1}{tg^2(x)}} = $$$$ = \lim_{x \to 0}(1- \ln(1-\sin(x)))^{ \frac{ \ln(1-\sin(x))}{ \ln(1-\sin(x))}*\frac{1}{tg^2(x)}} = $$
$$ = \lim_{x \to 0}[(1- \ln(1-\sin(x)))^{ \frac{1}{ \ln(1-\sin(x))}}]^{\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}} = $$ Получили второй замечательный предел \( \lim_{x \to 0}(1- \ln(1-\sin(x)))^{ \frac{1}{ \ln(1-\sin(x))}} = e\) , получаем $$ = \lim_{x \to 0}e^{\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}} = e^{\lim_{x \to 0}[\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}]} = \quad (1)$$ Найдем предел степени $$ = \lim_{x \to 0}[\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}] = \ln(1-0)*\frac{1}{ 0} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность, приведем предел к виду второго замечательного предела $$ = \lim_{x \to 0}[\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}] = $$$$ = \lim_{x \to 0}[ \frac{1}{ \sin(x)}\ln(1-\sin(x))*\frac{ \cos^2(x)}{ \sin(x)}] = $$ применяем формулу логарифма степени \( \log_{a^q}x^{p}=\frac{p}{q}\log_ax\) $$ = \lim_{x \to 0}[ \ln(1-\sin(x))^{\frac{1}{ \sin(x)}}*\frac{ \cos^2(x)}{ \sin(x)}] = $$ получили второй замечательный предел \( \lim_{x \to 0} (1-\sin(x))^{\frac{1}{ \sin(x)}} = e\), получаем $$ = \lim_{x \to 0}[ \ln(e)*\frac{ \cos^2(x)}{ \sin(x)}] = \lim_{x \to 0}\frac{ \cos^2(x)}{ \sin(x)} = $$$$ = \lim_{x \to 0}\frac{1}{ \sin(x)}$$ Рассмотрим два случая $$ = \lim_{x \to 0-}\frac{1}{ \sin(x)} = -\infty$$$$ = \lim_{x \to 0+}\frac{1}{ \sin(x)} = \infty$$ Подставляем результат двух случаев в (1) $$ e^{\lim_{x \to 0-}[\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}]} = e^{-\infty} = 0$$$$ e^{\lim_{x \to 0+}[\ln(1-\sin(x))*\frac{1}{tg^2(x)}]} = e^{\infty} = \infty$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0-}(1- \ln(1-\sin(x)))^{\frac{1}{tg^2(x)}} = 0 \), \( \lim_{x \to 0+}(1- \ln(1-\sin(x)))^{\frac{1}{tg^2(x)}} = \infty \)
