Найдем предел \( \lim_{x \to 0}\frac{1+x \sin(x)-\cos(2x)}{ \sin^2(x)} = \frac{1+0*0-1}{0} = \frac{0}{0}\)
Проведем преобразования, чтобы разрешить неопределенность без применения правила Лопиталя.
Применим формулу косинуса двойного угла \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)\) получаем $$\lim_{x \to 0}\frac{1+x \sin(x)-\cos(2x)}{ \sin^2(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{1+x \sin(x) - 1 + 2\sin^2(x)}{ \sin^2(x)} = $$$$ = \lim_{x \to 0}\frac{x \sin(x) + 2\sin^2(x)}{ \sin^2(x)} = $$ Применим свойство пределов - предел суммы равен сумме пределов \( \lim_{x \to a}(f(x)+g(x)) = \lim_{x \to a}f(x)+\lim_{x \to a}(f(x)\) $$ = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin(x)}{ \sin^2(x)} + 2\lim_{x \to 0} \frac{ \sin^2(x)}{ \sin^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{ \sin(x)} + 2 =$$ Оставшийся предел преобразуем к замечательному пределу $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} =1$$$$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{ \frac{ \sin^2(x)}{x}} + 2 = 1 + 2 = 3$$Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{1+x \sin(x)-\cos(2x)}{ \sin^2(x)} = 3\)
