Найдем предел \(\lim_{x \to 0}\frac{2x \sin(x)}{1-\cos(x)} = \frac{0*0}{1-1} = \frac{0}{0}\).
Получили неопределенность, проведем преобразования, чтобы разрешить эту неопределенность без применения правила Лопиталя. В задании есть и синус и x попробуем воспользоваться замечательным пределом $$\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1$$ В знаменателе примера косинус. Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \) $$\lim_{x \to 0}\frac{2x \sin(x)}{1-\cos(x)} = \lim_{x \to 0}\frac{2x \sin(x)}{1-\cos(x)} \frac{1 + \cos(x)}{1 + \cos(x)} = $$а затем основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) $$ =\lim_{x \to 0}\frac{2x \sin(x) (1 + \cos(x))}{1- \cos^2(x)}= \lim_{x \to 0}\frac{2x \sin(x) (1 + \cos(x))}{ \sin^2(x)} =$$$$ = \lim_{x \to 0}\frac{2x (1 + \cos(x))}{ \sin(x)} =$$теперь осталось последнее преобразование, чтобы воспользоваться замечательным пределом $$ = \lim_{x \to 0}\frac{2 (1 + \cos(x))}{ \frac{\sin(x)}{x}} = \frac{2(1+1)}{1} = 4$$Ответ: \(\lim_{x \to 0}\frac{2x \sin(x)}{1-\cos(x)} = 4\)
