Найдем предел \(\lim_{x \to 0}\frac{2\sin(\pi(x+1))}{\ln(1+2x)} = 2\frac{ \sin( \pi)}{ \ln(1)} = \frac{0}{0}\)
Для разрешения неопределенности без применения правила Лопиталя проведем некоторые преобразования. Применим формулу приведения тригонометрических функций \( \sin( \pi(x+1)) = \sin( \pi*x+ \pi) = -\sin( \pi*x)\).
Находим предел $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin(\pi(x+1))}{\ln(1+2x)} =- \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(\pi*x)}{\ln(1+2x)} = $$ В числителе синус, поэтому применим замечательный предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{x} = 1$$ а в знаменателе логарифм, применим замечательный предел $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \ln(1 + x)}{x} = 1$$ Проведем преобразования $$ = - \lim_{x \to 0}\frac{2\sin(\pi*x)}{\pi*x}\pi*x* \frac{1}{ \frac{\ln(1+2x)}{2x}*2x} = - \lim_{x \to 0} \frac{2*\pi*x}{2x} = -\pi$$ Ответ: \(\lim_{x \to 0}\frac{2\sin(\pi(x+1))}{\ln(1+2x)} =-\pi\)
