Найдем предел функции \( \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x^2-1} = \frac{\sqrt{1}-1}{1^2-1} = \frac{0}{0}\).
Проведем ряд преобразований для нахождения предела. Применим формулу разности квадратов в знаменателе $$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$$$$ \lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x^2-1} = \lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(x-1)(x+1)} =$$$$= \lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)} =$$ После преобразований, получили в числителе и знаменателе множители, которые можно сократить, при этом в знаменателе остались только множители с суммами. Сократить множители с разностью, приводящие к 0, было целью преобразований $$= \lim_{x \to 1}\frac{1}{(\sqrt{x}+1)(x+1)} = \frac{1}{(\sqrt{1}+1)(1+1)} = \frac{1}{4} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x^2-1} = \frac{1}{4} \)
