Найдем предел функции \(\lim_{n \to \infty}\frac{21n-1}{ \sqrt{n^2+20n}+ \sqrt{n^2-n+1}}\).
Правило Лопиталя применять в данном случае не рационально. В числителе и знаменателе два многочлена одной степени \(\sqrt{n^2} = n\). Покажем, что предел в данном случае равен отношению коэффициентов при членах с наибольшей степенью, т.е. можно сразу сказать ответ \(\frac{21}{2} \).
Решаем:
вынесем из числителя и знаменателя n (т.е. из корня выносим \(n^2\))
$$ \lim_{n \to \infty}\frac{21n-1}{ \sqrt{n^2+20n}+ \sqrt{n^2-n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n}\frac{21-\frac{1}{n}}{ \sqrt{1+\frac{20}{n}}+ \sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}} =$$$$= \frac{21-0}{ \sqrt{1-0+0}+ \sqrt{1-0+0}} = \frac{21}{1+1}=\frac{21}{2}$$Ответ: \(\lim_{n \to \infty}\frac{21n-1}{ \sqrt{n^2+20n}+ \sqrt{n^2-n+1}} = \frac{21}{2} \)
