Нехай $a=\lg3$, $b=\lg2$. Виразити $\log_{1200}{\frac{90}{8}}$ через a і b.

В задаче  параметры  a и b - десятичные логарифмы, поэтому приведем логарифм в задании к основанию десять. Воспользуемся свойствами логарифмов а именно формулой перехода к новому основанию

$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$$ получим $$\log_{1200}{\frac{90}{8}}=\frac{\lg \frac{90}{8}}{\lg{1200}}=\frac{\lg{90}-\lg{8}}{\lg{1200}}=$$ $$\frac{\lg{(3^2*10)}-\lg{(2^3)}}{\lg{(2^2*3*10^2)}}= \frac{\lg(3^2)+\lg10-\lg(2^3)}{\lg(2^2)+\lg3+\lg(10^2)}=$$ $$\frac{2\lg3+\lg{10}-3\lg2}{2\lg2+\lg3+2\lg{10}}= \frac{2\lg3+1-3\lg2}{2\lg2+\lg3+2}=$$ провелем подстановку, заданную в условии задачи  $a=\lg3$, $b=\lg2$.
$$\frac{2\lg3+1-3\lg2}{2\lg2+\lg3+2}=\frac{2a+1-3b}{2b+a+2}$$