Вирішуємо систему рівнянь методом Крамера
1. Знаходимо визначник системи
\(
\Delta =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
2 & 3
\end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
2 & 1
\end{vmatrix} =
\)
= 3 * (3*3 - 1*1) - 2 * (2*3-2*1) + (2*1-2*3) = 3*8 - 2*4 -4 = 24 - 8 - 4 = 12
так як \( \Delta \neq 0\) , то система має єдине рішення, яке визначається за формулою
\(\Large x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}; y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}; z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} \)
знаходимо \(\Delta_{x}, \Delta_{y}, \Delta_{z}\)
\(
\Delta_{x} =
\begin{vmatrix}
-8 & 2 & 1 \\
-3 & 3 & 1 \\
-1 & 1 & 3
\end{vmatrix} = -8 * \begin{vmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3
\end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
\end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}
-3 & 3 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} =
\)
= -8 * (3*3 - 1*1) - 2 * (-3*3-(-1)*1) + (-3*1-(-1)*3) = -8*8 - 2*(-8) + 0 = -64 + 16 = -48
\(
\Delta_{y} =
\begin{vmatrix}
3 & -8 & 1 \\
2 & -3 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix}
-3 & 1 \\
-1 & 3
\end{vmatrix} - 8 * \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
2 & 3
\end{vmatrix} + 1 * \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
2 & -1
\end{vmatrix} =
\)
= 3 * (-3*3 - (-1)*1) -(-8) * (2*3-2*1) + (2*(-1)-2*(-3)) = 3*(-8) + 8*4 -8 = -24 + 32 + 4 = 12
\(
\Delta_{z} =
\begin{vmatrix}
3 & 2 & -8 \\
2 & 3 & -3 \\
2 & 1 & -1
\end{vmatrix} = 3 * \begin{vmatrix}
3 & -3 \\
1 & -1
\end{vmatrix} - 2 * \begin{vmatrix}
2 & -3 \\
2 & -1
\end{vmatrix} -8 * \begin{vmatrix}
2 & 3 \\
2 & 1
\end{vmatrix} =
\)
= 3 * (3*(-1) - 1*(-3)) - 2 * (2*(-1)-2*(-3)) -8* (2*1-2*3) = 3*(-1) - 2*4 -4 = 0 - 8 + 8*4 = 24
$$ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta} = \frac{-48}{12} = -4$$$$y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta} = \frac{12}{12} = 1$$$$z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta} = \frac{24}{12} = 2$$
Відповідь : x = -4, y = 1, z = 2.
