По определению предела \( \lim_{x \to \infty}\frac{n}{3*n^2-1}=0\), если для любого наперед заданного, сколь угодно малого числа \( \epsilon > 0\) существуем такое сколь угодно большое число \( n > N( \epsilon)\), для которого выполняется $$| \frac{n}{3*n^2-1} -0| < \epsilon $$ найдем это число n.
При больших n единицей в знаменателе можно пренебречь, получаем $$ 0 < \frac{n}{3*n^2-1} < \frac{n}{3*n^2} < \epsilon$$далее рассмотрим неравенство $$ \frac{n}{3*n^2} < \epsilon => \frac{1}{3*n} < \epsilon => \frac{1}{3*\epsilon} < n$$Получили зависимость \( N( \epsilon) \), т.е. мы нашли для сколь угодно малого положительного числа \( \epsilon\) число \(n > N( \epsilon)\), для которого выполняется неравенство $$| \frac{n}{3*n^2-1} -0| < \epsilon $$ а это и означает, что $$\lim_{n \to \infty}\frac{n}{3*n^2-1}=0$$
