Вычислим интеграл \( \int_{0}^{\frac{\pi}{24}}tg(\frac{\pi}{3}-4x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{24}}\frac{\sin(\frac{\pi}{3}-4x)}{\cos(\frac{\pi}{3}-4x)}dx\) . Рассмотрим интеграл, видно, что числитель является производной знаменателя, поэтому введем замену $$\cos(\frac{\pi}{3} - 4x) = u => -\sin(\frac{\pi}{3} - 4x)*(-4)dx = du => \sin(\frac{\pi}{3} - 4x)dx = \frac{1}{4}du$$ Пересчитаем границы интеграла $$\left[\begin{array}{c} x =\frac{\pi}{24}=> & u = \cos(\frac{\pi}{3} - 4*\frac{\pi}{24}) \\ x = 0=> & u = \cos(\frac{\pi}{3} - 4*0)\end{array}\right.=> \left[\begin{array}{c} x =\frac{\pi}{24}=> & u =\cos(\frac{\pi}{6})= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x = 0=> & u = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\end{array}\right.$$Подставляем замену и границу в интеграл $$\int_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{4u}du = \frac{1}{4}\ln(u)|_{ \frac{1}{2}}^{ \frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{1}{4}( \ln(\frac{\sqrt{3}}{2})-\ln( \frac{1}{2}))= $$$$ \frac{1}{4}\ln( \frac{\sqrt{3}}{2}*2)= \frac{1}{4} \ln( \sqrt{3})= $$$$ = \frac{1}{8} \ln(3)$$Ответ: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{24}}tg(\frac{\pi}{3}-4x)dx =\frac{1}{8} \ln(3) \)
