Найти вторые производную и дифференциал \(у=3^{ctgx}\)

Найдем вторую производную функции \(у=3^{ctgx}\).
Для этого :
1. Найдем первую производную функции как производную сложной функции $$у'=(3^{ctgx})' = 3^{ctgx} * \ln 3*(ctg(x))' = 3^{ctgx} * \ln 3*(-\frac{1}{\sin^2(x)}) = -\frac{3^{ctgx} * \ln 3}{\sin^2(x)}$$
2. Находим вторую производную функции \(y'' = (y')'\). Производную будем искать по формулам сложной функции и производной дроби
$$y'' = ( -\frac{3^{ctgx} * \ln(3)}{\sin^2(x)})' = -\ln(3)(\frac{3^{ctgx}}{\sin^2(x)})' = $$ применяем формулу производной дроби $$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x)- g'(x)f(x)}{g^2(x)}$$получаем $$=-\ln(3)\frac{(3^{ctgx})'*\sin^2(x)-(\sin^2(x))'*3^{ctgx}}{\sin^4(x)} = -\ln(3)\frac{(3^{ctgx})'*\sin^2(x)-2*\sin(x)\cos(x)*3^{ctgx}}{\sin^4(x)} =$$в п.1 мы уже нашли производную \((3^{ctgx})'= -\frac{3^{ctgx} * \ln 3}{\sin^2(x)}\) подставляем в формулу второй производной $$ =-\ln(3)\frac{-\frac{3^{ctgx} * \ln 3}{\sin^2(x)}*\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)*3^{ctgx}}{\sin^3(x)} =-\ln(3)\frac{-3^{ctgx} * \ln 3-2\sin(x)\cos(x)*3^{ctgx}}{\sin^3(x)} =$$применим формулу синуса двойного угла \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)$$ =\ln(3)\frac{3^{ctgx} * \ln 3+2\sin(2x)*3^{ctgx}}{\sin^4(x)} =\ln(3)3^{ctgx}\frac{ \ln 3+\sin(2x)}{\sin^4(x)}$$
3. Найдем дифференциал второго порядка
в п.2 мы получили $$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \ln(3)3^{ctgx}\frac{ \ln 3+\sin(2x)}{\sin^4(x)} => $$$$d^2y = \ln(3)3^{ctgx}\frac{ \ln 3+\sin(2x)}{\sin^4(x)}dx^2 $$