Найти предел $$\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1}$$

Найдем предел \(\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}\) . Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), поэтому можно применить правило Лопиталя $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем это правило и получаем $$\lim_{x \to 1}\frac{x^3-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x^3-1)'}{(x-1)'} = \lim_{x \to 1}\frac{3x^2}{1} = 3*1^2 = 3$$