Исследуем функцию \(у=\frac{1}{e^x-1}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю. Найдем x при которых \(e^x-1 = 0 => e^x = 1 => x=0\), т.е. при x=0 знаменатель равен 0, то ОДЗ $$D_f=(-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x=0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{e^x-1}=\frac{1}{1+0-1} = +\infty$$и слева от точки $$\lim_{x \to 0-0}\frac{1}{e^x-1}=\frac{1}{1-0-1} = -\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \(\pm \infty\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{1}{е^{-x}-1} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \frac{1}{e^x-1} = 0 \) кривая точек пересечения с осью Ox не имеет.
точка пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0\). В п.2 было установлено, что это точка разрыва второго рода, т.е. точек пересечения с осью Oy нет.
Интервалы знакопостоянства функции. Точек пересечения с осью Ox нет, но есть точка разрыва x =0, т.е. есть два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = \frac{1}{е^{-1}-1} < 0\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = \frac{1}{е^{1}-1} > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{1}{e^x-1})' = -\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$ приравняем к 0 $$ -\frac{e^x}{(e^x-1)^2} = 0 $$ функция не имеет критических (стационарных)
Функция имеет одну точку x = 0, в которой производная не определена (ОДЗ) и делит ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -\frac{e^{-1}}{(e^{-1}-1)^2} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = -\frac{e^{1}}{(e^{1}-1)^2} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Критические (стационарные) точки - точки возможного экстремума, т.к. у этой функции нет критических (стационарных) точек, значит нет и экстремумов.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-\frac{e^x}{(e^x-1)^2})' = -\frac{e^x(e^x-1)^2-2(e^x-1)e^{2x}}{(e^x-1)^4}=$$$$=-\frac{e^x(e^x-1)-2e^{2x}}{(e^x-1)^3}=-\frac{e^{2x} -e^x-2e^{2x}}{(e^x-1)^3}=$$$$=\frac{e^x+e^{2x}}{(e^x-1)^3}= \frac{e^x(1+e^x)}{(e^x-1)^3}$$ Приравняем к нулю $$\frac{e^x(1+e^x)}{(e^x-1)^3} \ne 0 $$ Вторая производная при всех x не равна 0, т.е. выпуклость нужно рассматривать на ОДЗ, т.е. на двух интервалах
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = \frac{e^{-1}(1+e^{-1})}{(e^{-1}-1)^3} < 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = \frac{e^{1}(1+e^{1})}{(e^{1}-1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция не имеет точек, при которых вторая производная равна 0, поэтому функция точек перегиба не имеет.
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту x = 0 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{1}{e^x-1}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{e^x-1} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x-1} = 0$$$$\lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^x-1} = -1$$Получили, что график функции имеет две горизонтальные асимптоты
1. при \(x > 0 \) асимптота \(y = 0\)
2. при \(x < 0 \) асимптота \(y= -1\).
8. Построить график функции.
