Найдем интеграл $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{(3-\sin(x))^2}dx$$
Решать будем методом замены. В числителе \(\cos(x)\), а в знаменателе \(\sin(x)\), т.е. вполне логична следующая замена $$3-\sin(x) = u => -\cos(x)dx = du => $$ пересчитаем границу $$\begin{cases}0 & 3-\sin(0) = 3 - 0 = 3 \\ \frac{\pi}{2} & 3-\sin(\frac{\pi}{2}) = 3 - 1 = 2 \end{cases}$$ Подставляем замену и новые границы в интеграл $$-\int_3^2 \frac{1}{u^2}du = \int_2^3 \frac{1}{u^2}du =$$$$= \frac{1}{(-2+1)u}|_2^3 = -\frac{1}{u}|_2^3 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$Ответ: \(\int_0^{2\pi} \frac{\cos(x)}{(3-\sin(x))^2}dx = \frac{1}{6}\)
