Как известно n-й член геометрической прогрессии расчитывается по формуле $$b_n=b_1*q^{n-1}$$ гле \(b_1\) - первый член геометрической прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии. На основании указанной формулы запишем члены прогрессии указанные в задании
\(b_2=b_1*q^{2-1}=b_1*q\)
\(b_3=b_1*q^{3-1}=b_1*q^2\)
\(b_4=b_1*q^{4-1}=b_1*q^4\)
\(b_5=b_1*q^{5-1}=b_1*q^5\)
Составим систему урвнений
$$ \begin{cases}b_2−b_5=78\\
b_3+b_4+b_5=−117\end{cases}=>$$$$
\begin{cases}b_1*q−b_1*q^4=78\\
b_1*q^2+b_1*q^3+b_1*q^4=−117\end{cases}=>
\begin{cases}b_1*q*(1−q^3)=78\\
b_1*q^2+b_1*q^3+b_1*q^4=−117\end{cases}=> $$$$
\begin{cases}b_1=\frac{78}{q*(1−q^3)}\\
\frac{78}{q*(1−q^3)}*q^2+\frac{78}{q*(1−q^3)}*q^3+\frac{78}{q*(1−q^3)}*q^4=−117\end{cases}=> $$$$
\begin{cases}b_1=\frac{78}{q*(1−q^3)}\\
\frac{78*q*(1+q+q^2)}{(1−q)*(1+q+q^2)}=−117\end{cases}=>
\begin{cases}b_1=\frac{78}{q*(1−q^3)}\\
78*q=−117*(1−q)\end{cases}=> $$$$
\begin{cases}b_1=\frac{78}{q*(1−q^3)}\\
78*q=−117+117*q\end{cases}=>
\begin{cases}b_1=\frac{78}{q*(1−q^3)}\\
39*q=117\end{cases}=> $$$$
\begin{cases}b_1=\frac{78}{3*(1−27)}\\
q=3\end{cases}=>
\begin{cases}b_1=-1\\
q=3\end{cases}=>\\$$
