Дано рівняння кривої другого порядку \(4x^2 + 9y^2 = 36 \)
1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого ступеня (немає змішаного добутку) з різними коефіцієнтами, тому канонічне рівняння будемо отримувати шляхом розподілу на вільний член.
$$ 4x^2 + 9y^2 = 36 => $$$$ \frac{4}{36} x^2 + \frac{9}{36} y^2 = 1 => $$$$ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $$ Отримали рівняння еліпса.
Як відомо канонічне рівняння еліпса $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
2. Знайти координати фокусів, центру.
Розглянемо отримане рівняння еліпса. \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \) з рівняння видно, що координата центру еліпса O (0; 0).
Також з рівняння визначимо півосі еліпса \(A = 3 \) і \(b = 2 \).
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь \(F_1F_2 \). Т.я. \( a > b \), то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними: \(F_1(-c; 0) \) і \(F_2 (c; 0) \), де \(c = \sqrt{a ^ 2-b ^ 2} => c = \sqrt{9-4 } = \sqrt {5} \).
Координати фокусів будуть наступні \(F_1 (- \sqrt{5}; 0) \) і \(F_2 ( \sqrt{5}; 0) \).
3. Знайти ексцентриситет еліпса.
Ексцентриситет еліпса розраховується за формулою \( \epsilon = \frac{c}{a} \) => \( \epsilon = \frac{ \sqrt{5}}{3} \)
4. Будуємо графік:
