Найти производную: $$arctg\frac{ \sqrt{1+x^2}-1}{x}$$

Найдем производную функции $$arctg\frac{ \sqrt{1+x^2}-1}{x}$$
Решение:
$$y' = (arctg\frac{ \sqrt{1+x^2}-1}{x})'=$$находим производную по формуле сложной функции производная дроби$$= \frac{1}{1+(\frac{ \sqrt{1+x^2}-1}{x})^2}*\frac{( \sqrt{1+x^2}-1)'*x-( \sqrt{1+x^2}-1)}{x^2}=$$$$= \frac{1}{1+( \frac{ \sqrt{1+x^2}-1}{x})^2}*\frac{ \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}*x-( \sqrt{1+x^2}-1)}{x^2}=$$сокращаем дроби на \(x^2\)$$=
\frac{ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2}}*x-\sqrt{1+x^2}+1}{x^2+( \sqrt{1+x^2}-1)^2}=$$приводим к общему знаменателю$$= \frac{ \frac{x^2-( \sqrt{1+x^2})^2}{ \sqrt{1+x^2}}+1}{x^2+( \sqrt{1+x^2}-1)^2}=$$$$= \frac{ \frac{x^2-1-x^2}{ \sqrt{1+x^2}}+1}{x^2+1+x^2-2\sqrt{1+x^2}+1}= \frac{1-\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}}{2x^2-2\sqrt{1+x^2}+2}$$Ответ: \((arctg \frac{ \sqrt{1+x^2}-1}{x})'= \frac{1-\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}}{2x^2-2\sqrt{1+x^2}+2}\)