При каких значениях С и D прямая \(\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z}{7}\) лежит в плоскости

Если прямая лежит в плоскости, то любая точка этой прямой также лежит в этой плоскости. В уравнении плоскости две неизвестные C и D. Составим систему уравнений для нахождения неизвестных. Так как неизвестных две, понадобится два уравнения.

Решение:
1. Ищем координаты двух точек, принадлежащих прямой.
Представим уравнение прямой в параметрическом виде  $$\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z}{7} =t => $$$$\begin{cases}\frac{x-3}{2} =t\\\frac{y-3}{-3}=t \\ \frac{z}{7} =t\end{cases} =>
\begin{cases} x =2t+3 \\ y=-3t+3 \\ z =7t\end{cases}$$ Нам необходимо координаты двух точек, поэтому подставим в систему уравнений лютые удобные значения t, например t = 0 и t = 1 и получаем искомые координаты $$\begin{cases} t = 0\\ x =2*0+3 \\ y=-3*0+3 \\ z =7*0\end{cases} => \begin{cases} t = 0\\ x =3 \\ y=3 \\ z =0\end{cases}$$ получили координаты первой точки (3;3;0), подставляет t = 1 $$\begin{cases} t = 1\\ x =2*1+3 \\ y=-3*1+3 \\ z =7*1\end{cases} => \begin{cases} t = 1\\ x =5 \\ y=0 \\ z =7\end{cases}$$ получили координаты второй точки (5;0;7).

2. Составляем систему уравнений.
Подставляем полученные координаты в уравнение плоскости.
Для точки (3;3;0) получаем уравнение 2*3-3+C*0+D=0 => 3+D=0
Для точки (5;0;7) получаем уравнение 2*5+7C+D=0 => 10+7C+D=0
Составляем систему уравнений $$\begin{cases} 3+D=0\\10+7C+D=0\end{cases} =>\begin{cases} D=-3\\10+7C-3=0\end{cases} =>\begin{cases} D=-3\\C=-1\end{cases} $$

3.Получаем уравнение плоскости.
\(2x-y+Cz+D=0 =>2x-y-z-3=0\)

4. Проверка правильности решения
В п. 1 координаты прямой были представлены в параметрическом виде, если мы их подставим в полученное уравнение плоскости, то должны получить истинное равенство не зависящее от параметра t, это и означает, что прямая лежит в плоскости. Проверяем \(2(2t+3)-(-3t+3)-7t-3=0 => 4t +6 +3t-3-7t-3 =0 => 0=0\). Вывод, найдено верное уравнение плоскости.

Ответ: уравнение искомой плоскости \(2x-y-z-3=0\)

Доброго дня, доброго времени всем)
Можно значение C найти из того, что: если прямая лежит в плоскости, то ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен вектору нормали этой плоскости. Т.е. вектор \(\vec a(2; -3; 7)\) - направляющий вектор прямой - перпендикулярен вектору \(\vec n = \vec a(2; -1; C)\) ( вектору нормали заданной плоскости ). Т.е. их скалярное произведение = 0. Т.е. 2*2 + (-3)*(-1) + 7*C = 0, т.е. C = -1. ( Т.е. любая плоскость вида 2x - y - z + D = 0 будет параллельна заданной прямой ). И значение D находим из того, что еще и точка ( 3;3;0) ( принадлежащая прямой ) должна лежать в этой плоскости..
( Так не намного проще, или даже вообще НЕ проще, чем то решение, которое выше.. Но и так тоже можно..)