Исследуем функцию \(y = \frac{x^2-1}{x^2+1}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции для дроби будет: знаменатель не равен нулю , т.е. при всех x знаменатель не равен 0, то ОДЗ $$D_f=(-\infty;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва т.е. ОДЗ \(x \in R\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1} = \frac{x^2-1}{x^2+1}\) функция является четной, т.е. она симметрична относительно оси Oy.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\frac{x^2-1}{x^2+1} = 0 => x = \pm 1\) , т.е кривая пересекает ось Ox в двух точках с координатами (-1;0), (1;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y = \frac{0-1}{0+1}=> y = -1\), точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;-1)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили две точки пересечения с осью Ox, они поделили ось на три интервала знакопостоянства функции.
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{(-2)^2-1}{(-2)^2+1} > 0\), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox
интервал \((-1; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{(0)^2-1}{(0)^2+1} < 0 \), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((1; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{2^2-1}{2^2+1} > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{x^2-1}{x^2+1})' = \frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2} =$$$$=\frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$$ приравняем к 0 $$\frac{4x}{(x^2+1)^2} = 0 => x= 0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Эта точка x =0 делит ось на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = \frac{4(-1)}{((-1)^2+1)^2} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = \frac{4*1}{(1^2+1)^2} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=0 производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\) - точка минимума. Эта точка также является точкой пересечения с осью Oy, ее координаты (0; -1) .
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (\frac{4x}{(x^2+1)^2})' = \frac{4(x^2+1)^2-4x*2(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4} = $$$$=4\frac{(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^3} = 4\frac{1-3x^2}{(x^2+1)^3}$$ Приравняем к нулю $$4\frac{1-3x^2}{(x^2+1)^3} = 0 => 1-3x^2=0 => x_{1,2} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Получили три интервала выпуклости
интервал \((-\infty; -\frac{1}{\sqrt{3}})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = 4\frac{1-3(-1)^2}{((-1)^2+1)^3} < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 4\frac{1-3*0^2}{(0^2+1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((\frac{1}{\sqrt{3}};+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 4\frac{1-3*1^2}{(1^2+1)^3} < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
В точке \(x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба,
найдем вторую координату точки перегиба \(f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{(\sqrt{3})^2-1}{(\sqrt{3})^2+1} = -\frac{1}{2}\).
Координаты точки перегиба \((-\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{1}{2})\)
В точке \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\), график функции меняет выпуклость,т.е. это точка перегиба,
найдем вторую координату точки перегиба \(f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{(\sqrt{3})^2-1}{(\sqrt{3})^2+1} = -\frac{1}{2}\).
Координаты точки перегиба \((\frac{1}{\sqrt{3}};-\frac{1}{2})\)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции не имеет вертикальных асимптот, т.к. ОДЗ \(x \in R\)
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =\frac{x^2-1}{x^2+1}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x^2+1} = 1$$Получили, что график функции имеет горизонтальную асимптоту y=1.
8. Построить график функции.
