Исследуем функцию \(y = \frac{x}{(x-1)^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции для дроби будет: знаменатель не равен нулю , т.е. \(x-1 \ne 0 => x \ne 1 \)$$D_f=(-\infty;1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x =1
исследуем точку x=1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 1+0} \frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(1+0-1)^2} = +\infty$$и слева от точки $$\lim_{x \to 1-0}\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(-1-0+1)^2} = +\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \(+\infty\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{-x}{(-x-1)^2} = -\frac{x}{(x+1)^2}\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\frac{x}{(x-1)^2} = 0 => x = 0\) , кривая проходит через начало координат (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \(y = \frac{0}{(0-1)^2} => y = 0\).
Интервалы знакопостоянства функции. Получили одну точку пересечения с осью Ox, определим знак функции справа и слева от точки
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{-2}{(-2-1)^2} < 0\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{2}{(2-1)^2} > 0 \), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{x}{(x-1)^2})' = \frac{(x-1)^2-x*2(x-1)}{(x-1)^2} =$$$$=\frac{1-x^2}{(x-1)^4} = -\frac{x+1}{(x-1)^3}$$ приравняем к 0 $$-\frac{x+1}{(x-1)^3} = 0 => x= -1$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Эта точка x =1 и точка x = -1 (производная не существует по ОДЗ) делит ось на три интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = -\frac{-2+1}{(-2-1)^3} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((-1; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = -\frac{0+1}{(0-1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = -\frac{2+1}{(2-1)^3} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=-1 производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\) - точка минимума. Рассчитаем вторую координату \(f(-1) = \frac{-1}{(-1-1)^2} = -\frac{1}{4}\), т.е. координата точки локального минимума \((-1; -\frac{1}{4})\) .
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-\frac{x+1}{(x-1)^3})' = -\frac{(x-1)^3-3(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^6} = - \frac{x-1-3(x+1)}{(x-1)^4} = \frac{2(x+2)}{(x-1)^4}$$ Приравняем к нулю $$\frac{2(x+2)}{(x-1)^4} = 0 => x=-2$$
С учетом точки x = 1, в которой функция не существует, получили три интервала выпуклости
интервал \((-\infty;-2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-4) = \frac{2(-4+2)}{(-4-1)^4} < 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-2;1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{2(0+2)}{(0-1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((1;+\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = \frac{2(2+2)}{(2-1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
В точке x = -2 график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба, найдем вторую координату точки перегиба \(y = \frac{-2}{(-2-1)^2} = -\frac{2}{9}\).
Координаты точки перегиба \((-2;-\frac{2}{9})\)
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки x = 1, найдем предел при x-> 1 $$\lim_{x \to 1+0} \frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(1+0-1)^2} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1-0}\frac{x}{(x-1)^2}=\frac{1}{(-1-0+1)^2} = +\infty$$x= 1 - вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =\frac{x}{(x-1)^2}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{x}{(x-1)^2}}{x} = \frac{1}{(x-1)^2} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
8. Построить график функции.
