Исследуем функцию \(y=x-\ln(x)\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \(x > 0\)$$D_f=(0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -x-\ln(-x)\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(x-\ln(x) = 0 => x = \ln(x)\) , данное равенство можно рассматривать как общую точку двух функций \(y = x\) и \(y = \ln(x)\) , т.к. функция y = x положительная на всей ОДЗ (смотрим п.1), то точка пересечения возможна при \( \ln(x) > 0\), а это и есть доказательство того, что точек пересечения с осью Ox нет. В п.5 будет доказано это утверждение при помощи исследования монотонности и экстремумов.
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), точек пересечения с осью Oy нет, т.к. эта точка не попадает в ОДЗ.
Интервалы знакопостоянства функции.Точек пересечения с осью Ox нет, т.е. функция имеет один знак на ОДЗ, определим его,
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = 1-\ln(1) =1 >0 \), т.е. на всем ОДЗ функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x-\ln(x))' = 1-\frac{1}{x} $$ приравняем к 0 $$1-\frac{1}{x} = 0 => x=1$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции. Эта точка делит ось на два интервала монотонности. Определим монотонность функции на этих интервалах
интервал \((0; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0,5) = 1-\frac{1}{0,5} = 1-2 =-1 < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0\), т.е. на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании получили одну критическую (стационарную) точку , определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку
точка x=1 производная меняет знак с \( - \quad 0 \quad +\) - точка минимума. Рассчитаем вторую координату \(f(1) = 1 - \ln(1) = 1\), т.е. координата точки локального минимума (1;1) это подтверждает наши выводы в п.4, что функция точек пересечения с осью Ox не имеет.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (1-\frac{1}{x})' = \frac{1}{x^2}$$ При всех значениях x вторая производная \(y'' > 0\), т.е. на всем ОДЗ функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Т.к. функция имеет постоянную выпуклость, точек перегиба у нее нет.
7. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки x = 0, найдем предел при x-> 0 $$\lim_{x \to 0}(x-\ln(x)) = 0 + \infty = +\infty$$получили, что ось Oy - вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =x-\ln(x)\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x-\ln(x)}{x} = 1 - \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln(x)}{x} = 1 - 0 => k= 1$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}(x- \ln(x) - x) = -\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = -\infty $$ получили, что график функции наклонной асимптоты не имеет.
8. Построить график функции.
