Решить систему $$\begin{cases} x^{\log_5y} + y^{\log_5x} = 50\\ \log_5y - \log_5x = 1 \end{cases}$$Для решения будем использовать основные логарифмические тождества с учетом области определения функции логарифм.
$$\begin{cases}
x^{\log_5y} + y^{\log_5x} = 50\\
\log_5y - \log_5x = 1
\end{cases}=>\begin{cases}
x^{\log_5y} + y^{\log_5x} = 50\\
\log_5{\frac{y}{x}} = 1
\end{cases} =>$$$$
\begin{cases}
x^{\log_5y} + y^{\log_5x} = 50\\
\frac{y}{x} = 5
\end{cases} =>
\begin{cases}
x^{\log_5{5x}}+ (5x)^{\log_5x} = 50\\
y= 5x
\end{cases} =>$$$$
\begin{cases}
x^{\log_5{5}+\log_5{x}}+ 5^{\log_5x}x^{\log_5x} = 50\\
y= 5x
\end{cases} =>
\begin{cases}
x^{1+\log_5{x}}+ x*x^{\log_5x} = 50\\
y= 5x
\end{cases} =>$$$$
\begin{cases}
x^{1+\log_5{x}}+ x^{1+\log_5x} = 50\\
y= 5x
\end{cases} =>
\begin{cases}
2*x^{1+\log_5{x}} = 2*5^2\\
y= 5x
\end{cases} =>$$$$
\begin{cases}
x^{1+\log_5{x}} = 5^2\\
y= 5x
\end{cases} =>
\begin{cases}
\log_5{x^{1+\log_5{x}}} = \log_5{5^2}\\
y= 5x
\end{cases} =>$$$$
\begin{cases}
\log_5{x}(1+\log_5{x}) = 2\\
y= 5x
\end{cases} =>
\begin{cases}
\log_5^2{x} +\log_5{x} - 2 =0\\
y= 5x
\end{cases} => $$Рассмотрим квадратное уравнение \(\log_5^2{x} +\log_5{x} - 2 =0\), произведем замену \(t=\log_5{x}\) получим $$t^2+t-2=0 =>$$$$t_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4*2}}{2} =>t_{1,2}=\frac{-1 \pm 3}{2} =>t_1=1,t_2=-2$$ Подставим указанные решения в систему уравнений $$\begin{cases}
\log_5{x_1} = 1\\
\log_5{x_2} = -2\\
y= 5x
\end{cases} =>
\begin{cases}
x_1 = 5\\
x_2 = \frac{1}{25}\\
y_{1}= 25\\
y_{2}= \frac{1}{5}\\
\end{cases} $$Ответ: \((5,25),(\frac{1}{25},\frac{1}{5})\)
