1. уравнение плоскости ABC.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки A(-1;-2;3), B(-1;2;3), C(2;1;2) в координатной форме $$\left|\begin{array}{c}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1 \\x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$$Подставляем координаты точек и получаем $$\left|\begin{array}{c}x+1& y+2& z-3\\ -1+1& 2+2& 3-3 \\2+1& 1+2& 2-3\end{array}\right|=0 =>\left|\begin{array}{c}x+1& y+2& z-3\\ 0& 4& 0 \\3& 3& -1\end{array}\right|=0 =>$$находим определитель по правилу треугольника $$-4(x+1) - 12(z-3)=0 => x+1+3z-9=0 =>$$ получили уравнение плоскости, проходящее через три заданные точки $$x+3z-8=0$$ получили неполное уравнение плоскости, коэффициент при y равен 0, т.е. плоскость параллельна оси Oy
2. уравнение прямой AD.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки находится по формуле $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$подставляем координаты точек и получаем $$\frac{x+1}{1+1}=\frac{y2+2}{2+2} = \frac{z-3}{-3-3} =>$$$$\frac{x+1}{2}=\frac{y2+2}{4} = \frac{z-3}{-6} =>$$ получили уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A(-1;-2;3) и D(1;2;-3) $$\frac{x+1}{1}=\frac{y2+2}{2} = \frac{z-3}{-3}$$
3. угол между плоскостью ABC и прямой AD.
В координатной форме угол между прямой и плоскостью равен $$\sin\phi = \frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}*\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$ где A,B,C - коэффициенты при x,y,z в уравнении плоскости и равны A=1, B=0, C=3, а m,n,p - координаты направляющего вектора прямой m=1; n=2; p =-3, подставляем в формулу синуса угла и получаем $$\sin\phi = \frac{|1*1+0*2+3*(-3)|}{\sqrt{1^2+0^2+3^2}*\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}} = \frac{8}{\sqrt{10}*\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{35}} =>$$$$\phi = \arcsin\frac{4}{\sqrt{35}} \approx 42^0$$
4. уравнение нормали к плоскости ABC, проходящей через точку D.
Для прямой известно направление (она перпендикулярна плоскости) и точка, через которую она проходит, те. воспользуемся каноническим уравнением прямой линии $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}$$ где \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки (в нашей задаче - D(1;2;-3)), а s(m,n,p) - направляющий вектор прямой. Т.е. прямая по условию перпендикулярна плоскости \(x+3z-8=0\), то нормальный вектор плоскости \(n=(1;0;3)\) будет направляющим вектором прямой, с учетом, того, что прямая будет перпендикулярна оси Oy, то получим уравнение прямой $$\frac{x-1}{1} = \frac{z+3}{3}; y-2=0$$
