Записать уравнение кривой в каноническом виде. Найти координаты фокусов, вершин центра.

Дано уравнение кривой второго порядка $x^2+y^2-4x-6y-12=0$

1. Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата. Сразу обращу внимание на то, что коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ - одинаковые и равны 1, т.е. можно сразу сказать, что это окружность. Докажем это

$$x^2+y^2-4x-6y-12=0 => x^2-4x+y^2-6y-12=0 =>$$ $$(x^2-2*2x+4-4)+(y^2-2*3y+9-9)-12=0 => (x-2)^2-4+(y-3)^2-9-12=0 =>$$ $$(x-2)^2+(y-3)^2=25$$ Получили уравнение окружности, Каноническое уравнение окружности $$x^2+y^2=r^2$$ Для того, чтобы привести к указанному виду введем новые координаты $x'=x-2;y'=y-3$, подставляем и получаем каноническое уравнение в новой системе координат, которая смещена относительно базовой системы координат на по оси Ох на право 3 и по оси Оу на 3 вверх, получаем $$(x')^2+(y')^2=5^2$$

2. Найти координаты центра.
Рассмотрим полученное уравнение окружности. $(x^2-2)^2+(y^2-3)^2=5^2$ из уравнения видно, что координата центра окружности O(2;3), радиус окружности $r = 5$

3. Построить рисунок:

Дано уравнение кривой второго порядка $y^2+3x-6y+15=0$

1. Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.

$$y^2+3x-6y+15=0=> y^2-6y+3x+15=0$$ $$(y^2-2*3y)+3x+15=0 => (y^2-2*3y+9-9)+3x+15=0 =>$$ $$(y-3)^2-9+3x+15=0 => (y-3)^2= -3x-6 => (y-3)^2= -3(x+2)$$ Получили уравнение параболы. Введем замену координат $x'=x+2$ и $y'=y-3$ получаем каноническое уравнение имеет вид $$(y')^2 = -3x'$$ получили каноническое уравнение параболы, осью симметрии которой  является ось Ox и оси которой направлены влево т.е. x

2. Найти координаты фокуса, вершины, параметр.
Из уравнения параболы

$$(y-3)^2= -3(x+2)$$ следует, что координаты вершины равны $M(-2;3)$ , а осью симметрии является прямая $$y - 3 =0 => y =3$$
Найдем параметр параболы, сравниваем каноническое уравнение параболы $y^2= -2px$ и уравнение параболы в задании $(y-3)^2= -3(x+2)$ видим, что $2p =3 => p=\frac{3}{2}$.
Фокус - точка, которая лежит на оси симметрии $y=3$ на расстоянии $\frac{p}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$ от вершины, т.е. фокус имеет координаты $F(-2-\frac{3}{4};3)$ $$F(-\frac{11}{4};3)$$

3.Записать уравнение директрисы.
Уравнение директрисы в системе координат $X'OY'$ имеет вид  $x' = \frac{p}{2} = \frac{3}{4}$, тогда в системе координат $XOY$ будет иметь вид

$$x+2=\frac{3}{4} => x = -\frac{5}{4}$$

4. Построить рисунок: