Дано уравнение кривой второго порядка y^2+3x-6y+15=0
1. Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
y^2+3x-6y+15=0=> y^2-6y+3x+15=0
(y^2-2*3y)+3x+15=0 => (y^2-2*3y+9-9)+3x+15=0 =>
(y-3)^2-9+3x+15=0 => (y-3)^2= -3x-6 => (y-3)^2= -3(x+2)
Получили уравнение параболы. Введем замену координат
x'=x+2 и
y'=y-3 получаем каноническое уравнение имеет вид
(y')^2 = -3x'
получили каноническое уравнение параболы, осью симметрии которой является ось Ox и оси которой направлены влево т.е. x
2. Найти координаты фокуса, вершины, параметр.
Из уравнения параболы (y-3)^2= -3(x+2)
следует, что координаты вершины равны
M(-2;3) , а осью симметрии является прямая
y - 3 =0 => y =3
Найдем параметр параболы, сравниваем каноническое уравнение параболы
y^2= -2px и уравнение параболы в задании
(y-3)^2= -3(x+2) видим, что
2p =3 => p=\frac{3}{2} .
Фокус - точка, которая лежит на оси симметрии
y=3 на расстоянии
\frac{p}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4} от вершины, т.е. фокус имеет координаты
F(-2-\frac{3}{4};3) F(-\frac{11}{4};3)
3.Записать уравнение директрисы.
Уравнение директрисы в системе координат X'OY' имеет вид x' = \frac{p}{2} = \frac{3}{4}, тогда в системе координат XOY будет иметь вид x+2=\frac{3}{4} => x = -\frac{5}{4}
4. Построить рисунок:
