Приведем в правой и левой части тождества логарифмы к одинакомому основанию $$27*x^{\log_{27}x}=9^{\log_{27}x^5}=>3^3*x^{\log_{3^3}x}=(3^2)^{\log_{3^3}x^5}=>$$$$3^3*x^{\frac{1}{3}\log_3x}=(3^2)^{\frac{5}{3}\log_3x} => 3^3*x^{\frac{1}{3}\log_3x}=(3)^{\frac{10}{3}\log_3x} => $$$$ \log_3(3^3*x^{\frac{1}{3}\log_3x})=\log_3(3^{\frac{10}{3}\log_3x}) => $$$$ \log_3(3^3) +\log_3(x^{\frac{1}{3}\log_3x}) =\log_3(3^{\frac{10}{3}\log_3x})=>$$$$ 3 +\log_3x*\frac{1}{3}\log_3x =\frac{10}{3}\log_3x=>$$$$9 +\log_3^2x =10*\log_3x=>$$ Делаем замену \(log_3x =t\) $$t^2 - 10t+9 => t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100-36}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2} =>t_{1} =9, t_{2} =1$$ ОДЗ t >0 $$\begin{cases}log_3x =9 \\ log_3x =1 \end{cases} =>$$$$\begin{cases}x =3^9 \\ x =3 \end{cases}$$
