Исследуем функцию \(y = xe^{-x^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
$$D_f= x \in R$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Точек разрыва у функции нет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)e^{-(-x)^2} = -(xe^{-x^2})\) функция является нечетной, т.е. симметричной относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим $$xe^{-x^2} = 0 => x = 0$$точка пересечения с осью Ox имеет координаты (0;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\) $$0*e^{-0^2} = y => y = 0$$ точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0;0)
Т.к. есть одна тоска пересечения с осью Ox, значит есть два интервала знакопостоянства функции. Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = -1*e^{-1^2} < 0\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \)
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = 1*e^{-1^2} > 0\), т.е. на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \)
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (xe^{-x^2})' = e^{-x^2} + xe^{-x^2}*(-2x) =>$$$$y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$$ приравняем к 0 $$e^{-x^2}(1 - 2x^2) = 0 => 1 - 2x^2 => x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$$ Получили две критические точки, значит три интервала монотонности
интервал \((-\infty; -\sqrt{\frac{1}{2}})\) определим знак производной на интервале \(f'(-1) = e^{-(-1)^2}(1 - 2(-1)^2) < 0 \) - функция убывает
интервал \((-\sqrt{\frac{1}{2}}; \sqrt{\frac{1}{2}})\) определим знак производной на интервале \(f'(0) = e^{-(0)^2}(1 - 2(0)^2) > 0 \) - функция возрастает
интервал \((\sqrt{\frac{1}{2}}; +\infty)\) определим знак производной на интервале \(f'(1) = e^{-1^2}(1 - 2*1^2) < 0 \) - функция убывает
Экстремумы функции.
В критической точке \(x = -\sqrt{\frac{1}{2}}\) функция меняла знак с \(- \quad 0 \quad + \) - точка минимума.
В критической точке \(x = \sqrt{\frac{1}{2}}\) функция меняла знак с \(+ \quad 0 \quad - \) - точка максимума.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (e^{-x^2}(1 - 2x^2))' = (-2x)*e^{-x^2}(1 - 2x^2) -e^{-x^2}*4x = 2x*e^{-x^2}(2x^2-3)$$ приравняем к нулю $$2x*e^{-x^2}(2x^2-3) = 0 => \left[\begin{array}{c} x=0\\ 2x^2-3 = 0\end{array}\right.=>
\left[\begin{array}{c} x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{array}\right.$$Получили три точки перегиба и четыре интервала выпуклости. Определим выпуклость на интервалах
\((-\infty; -\sqrt{\frac{3}{2}})\) определим знак второй производной на интервале \(f''(-2) = 2(-2)*e^{-(-2)^2}(2(-2)^2-3) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая)
\((-\sqrt{\frac{3}{2}}; 0)\) определим знак второй производной на интервале \(f''(-1) = 2(-1)*e^{-(-1)^2}(2(-1)^2-3) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая)
\((0;\sqrt{\frac{3}{2}})\) определим знак второй производной на интервале \(f''(1) = 2*1*e^{-1^2}(2*1^2-3) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая)
\((\sqrt{\frac{3}{2}}; +\infty)\) определим знак второй производной на интервале \(f''(2) = 2*2*e^{-2^2}(2*2^2-3) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая)
Точками перегиба являются точки в которых график функции меняет свою выпуклость. Рассмотрим наши три точки
в точке \(-\sqrt{\frac{3}{2}}\) - выпуклость меняется с \(- \quad 0 \quad + \) - точка перегиба
в точке \(0\) - выпуклость меняется с \(+ \quad 0 \quad - \) - точка перегиба
в точке \(\sqrt{\frac{3}{2}}\) - выпуклость меняется с \(- \quad 0 \quad + \) - точка перегиба
получили, что все три точки являются точками перегиба.
7. Асимптоты.
Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. ОДЗ \(x \in R\).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y = xe^{-x^2}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}e^{-x^2} = 0 => k=0$$и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}xe^{-x^2} = 0 $$получили, что график функции \(y = xe^{-x^2}\) наклонных асимптот не имеет, но имеет горизонтальную асимптоту
Проанализируем поведение функции вдоль оси Ox $$ \lim_{x \to +\infty}xe^{-x^2}= +0$$ т.е. график приближается к оси Ox сверху, а при $$ \lim_{x \to -\infty}xe^{-x^2}= -0$$т.е. график приближается к оси Ox снизу.
Получили, что ось Ox - горизонтальная асимптота
8. Построить график функции.
