Исследуем функцию \(y = x -\frac{8}{x^2}\) и построим ее график.
1. Область определения.
Для дроби ОДЗ - знаменатель не равен нулю, т.е. \(x \ne 0\) $$D_f=(-\infty;0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x=0 исследуем ее. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва $$\lim_{x \to 0+0}(x-\frac{8}{x^2}) = 0 - \lim_{x \to 0+0}\frac{8}{x^2}= -\infty$$$$\lim_{x \to 0-0}(x-\frac{8}{x^2}) = 0 - \lim_{x \to 0-0}\frac{8}{x^2}= -\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \(-\infty\)
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)-\frac{8}{(-x)^2} = -(x+\frac{8}{x^2})\) функция не является ни четной ни нечетной..
4. Точки пересечения с осями. Интервалы знакопостоянства функции
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим $$x -\frac{8}{x^2} = 0 => \frac{x^3-8}{x^2} = 0 => x^2 -8 =0 => x=2$$точка пересечения с осью Ox имеет координаты (2;0)
точка пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), но по ОДЗ \(x \ne 0\), т.е. точек пересечения с осью Oy нет.
Т.к. есть одна тоска пересечения с осью Ox, значит есть два интервала знакопостоянства функции. Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;2)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = 1-\frac{8}{1} = -7\), т.е. на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \)
интервал \((2; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(5) = 5-\frac{8}{25} > 0\), т.е. на этом интервале функция польжительная \(f(x) > 0 \)
5. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x -\frac{8}{x^2})' = 1 + \frac{16}{x^3}$$ приравняем к 0 $$1 + \frac{16}{x^3} = 0 => \frac{x^3 + 16}{x^3} = 0 => x^3+16 = 0 => x = -2\sqrt[3]{2}$$ Также функция не дифференцируема в точке \(x=0\), поэтому получили три интервала монотонности, определим поведение функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -2\sqrt[3]{2})\) определим знак производной на интервале \(f'(-3) = 1 + \frac{16}{(-3)^3} > 0 \) - функция возрастает
интервал \((-2\sqrt[3]{2}; 0)\) определим знак производной на интервале \(f'(-1) = 1 + \frac{16}{(-1)^3} =-15 < 0 \) - функция убывает
интервал \((0; +\infty)\) определим знак производной на интервале \(f'(1) = 1 + \frac{16}{1^3} > 0 \) - функция возрастает
Экстремумы функции.
В критической точке \(x = -2\sqrt[3]{2}\) функция меняла знак с \(+ \quad 0 \quad - \) - точка максимума.
6. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (1 + \frac{16}{x^3})' = -\frac{48}{x^4}$$ получили, что при всех значениях \(x \in R\) функция всегда выпуклая вверх (вогнутая), т.к. вторая производная всегда меньше нуль \(y'' < 0 \).
7. Асимптоты.
Мы уже получили точку разрыва \(x = 0\) - вертикальная асимптота, т.к. при $$\lim_{x \to 0+0}(x-\frac{8}{x^2}) = -\infty$$$$\lim_{x \to 0-0}(x-\frac{8}{x^2}) = -\infty$$
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(y =x-\frac{8}{x^2}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{x-\frac{8}{x^2}}{x} = \lim_{x \to +\infty}(1 -\frac{8}{x^3}) = 1 => k=1$$и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}(x-\frac{8}{x^2} - x) = 0 => b =0$$ подставляем полученные данные в \(y = kx+b\) и получаем уравнение асимптоты$$y = x$$
8. Построить график функции.
