Найти предел иррациональной дроби $$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{2x+5}-3}{3x-6}$$

Найдем пределы иррациональных дробей
1. Рассмотрим пример

$$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{2x+5}-3}{3x-6}=$$ находим значение функции в точке $$=\frac{\sqrt{2*2+5}-3}{3*2-6} = \frac{\sqrt{9}-3}{6-6}=\frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$, применяем правило Лопиталя.
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ т.е. находим производную числителя и знаменателя. В числителе производную будем находить по формуле производной сложной функции $$\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{2x+5}-3}{3x-6}=\lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{2x+5}-3)'}{(3x-6)'} = \lim_{x \to 2}\frac{\frac{1}{2\sqrt{2x+5}}*(2x+5)'}{3} =$$ $$\lim_{x \to 2}\frac{\frac{1}{2\sqrt{2x+5}}*2}{3} =\frac{1}{3\sqrt{2*2+5}}=\frac{1}{9}$$
2. Рассмотрим пример $$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+6}-3}=$$ находим значение функции в точке $$=\frac{\sqrt{3+1}-2}{\sqrt{3+6}-3} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$ можно применить правило Лопиталя, но в данном случае в знаменателе корень, поэтому в качестве примера применим метод умножения на сопряженное. Этот метод иногда бывает проще, чем правило Лопиталя. Умножим числитель и знаменатель на многочлены, сопряженные с числителем и знаменателем, получим $$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+6}-3}*\frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+6}+3}*\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}=$$ в числителе и знаменателе получили формулу разности квадратов, т.е. $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$ получаем $$\lim_{x \to 3}\frac{x+1-4}{x+6-9}*\frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+1}+2}= \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x-3}*\frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+1}+2}=$$ $$\lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+1}+2} =$$ Находим значение функции в точке $$=\frac{\sqrt{3+6}+3}{\sqrt{3+1}+2} = \frac{3+3}{2+2}=\frac{3}{2}$$
3.Рассмотрим пример $$\lim_{x \to -5}\frac{\sqrt{x+9}-2}{\sqrt{4-x}-3}=$$ Находим значение функции в точке $$=\frac{\sqrt{-5+9}-2}{\sqrt{4+5}-3} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$ Можно решить методом умножения на сопряженное как в примере 2, сейчас применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to -5}\frac{\sqrt{x+9}-2}{\sqrt{4-x}-3}=\lim_{x \to -5}\frac{(\sqrt{x+9}-2)'}{(\sqrt{4-x}-3)'} =$$ $$=\lim_{x \to -5}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+9}}*(x+9)'}{\frac{1}{2\sqrt{4-x}}*(4-x)'}= \lim_{x \to -5}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+9}}*1}{\frac{1}{2\sqrt{4-x}}*(-1)}=$$ $$=-\lim_{x \to -5}\frac{2\sqrt{4-x}}{2\sqrt{x+9}}=-\lim_{x \to -5}\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x+9}} =$$ Находим значение функции в точке $$=-\frac{\sqrt{4+5}}{\sqrt{-5+9}}=-\frac{3}{2}$$