Рассмотрим метод нахождения предела рациональной дроби.
1. Найти предел $$\lim_{x \to 4}\frac{2x^2-7x-4}{2x^2-13x+20} = $$ находим значение функции в точке, получаем $$=\frac{2*4^2-7*4-4}{2*4^2-13*4+20} =\frac{32-28-4}{32-52+20} =\frac{0}{0}$$Получили неопределенность вила \(\frac{0}{0}\). Эта неопределенность раскрывается при помощи правила Лопиталя, заключающееся в следующем $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке. Найдем производные и предел $$\lim_{x \to 4}\frac{2x^2-7x-4}{2x^2-13x+20} = \lim_{x \to 4}\frac{(2x^2-7x-4)'}{(2x^2-13x+20)'} = $$$$= \lim_{x \to 4}\frac{4x-7}{4x-13} = \frac{4*4-7}{4*4-13} = \frac{9}{3}=3$$
2. Найти предел $$\lim_{x \to -3}\frac{x^2+10x+21}{x^2+8x+15} = $$ Находим значение функции, получаем $$=\frac{(-3)^2+10*(-3)+21}{(-3)^2+8*(-3)+15} =\frac{9-30+21}{9-24+15}=\frac{0}{0}$$Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), значит применяем правило Лопиталя $$\lim_{x \to -3}\frac{x^2+10x+21}{x^2+8x+15} = \lim_{x \to -3}\frac{(x^2+10x+21)'}{(x^2+8x+15)'} = \lim_{x \to -3}\frac{2x+10}{2x+8} = \frac{2*(-3)+10}{2*(-3)+8}=\frac{4}{2}=2$$
