Рассмотрим один из методов нахождения предела рациональной дроби.
1.Решим пример: $$\lim_{x \to \infty}\frac{7-2x^2+4x^3}{5+2x-x^3} = $$Найдем значение функции в точке x, получаем $$\frac{ \infty}{ \infty}$$ В данном примере в числителе и знаменателе многочлены с одинаковой степенью равной 3. Самый простой метод нахождения предела, в данном случае - сравнение коэффициентов при наибольших степенях многочленов числителя и знаменателя. Покажу как это увидеть. Для этого вынесем из числителя и знаменателя x в наибольшей степени $$\lim_{x \to \infty}\frac{7-2x^2+4x^3}{5+2x-x^3} = \lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^3}\frac{\frac{7}{x^3}-\frac{2}{x}+4}{\frac{5}{x^3}+\frac{2}{x^2}-1}=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{7}{x^3}-\frac{2}{x}+4}{\frac{5}{x^3}+\frac{2}{x^2}-1}=$$подставляем \(x \to \infty\), получаем $$=\frac{\frac{7}{ \infty}-\frac{2}{ \infty}+4}{\frac{5}{ \infty}+\frac{2}{ \infty}-1}=\frac{0-0+4}{0+0-1}=-4$$Получили, что если степени многочленов числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при членах с наибольшей степенью (в данном случае при \(x^3\))
2. Рассмотрим следующий предел: $$\lim_{x \to \infty}\frac{4x^3-2x+4}{3x^2+2x+1} = $$
Метод решения такой же как и в первом примере. Вынесем из числителя и знаменателя x в наибольшей степени \(x^3\), получим $$\lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^3}\frac{4-\frac{2}{x^2}+\frac{4}{x^3}}{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}} =$$найдем значение функции в точке$$ = \frac{4-\frac{2}{ \infty}+\frac{4}{\infty}}{\frac{3}{ \infty}+\frac{2}{ \infty}+\frac{1}{ \infty}} = \frac{4-0+0}{0+0+0} =\frac{4}{0}= \infty $$т.о. получили, что если степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, то предел равен бесконечности. Говорят, что числитель растет быстрее знаменателя.
3. Рассмотрим предел $$\lim_{x \to \infty}\frac{2x+7}{3x^3+11x+6}$$ В данном случае опять дробь, в числителе и знаменателе которой многочлены, но уже разных степеней. Метод решения такой же как и в первом примере. Вынесем из числителя и знаменателя x в наибольшей степени \(x^3\), получим $$\lim_{x \to \infty}\frac{2x+7}{3x^3+11x+6} = \lim_{x \to \infty}\frac{x^3}{x^3}\frac{\frac{2}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{3+\frac{11}{x^2}+\frac{6}{x^3}}=$$Найдем значение функции в точке, получим $$=\frac{\frac{2}{ \infty}+\frac{7}{ \infty}}{3+\frac{11}{ \infty}+\frac{6}{ \infty}}=\frac{0+0}{3+0+0}=\frac{0}{3}=0$$т.о. получили, что если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то предел равен нулю. Говорят, что знаменатель растет быстрее числителя.
